Question

如圖，已知在△ABC中，∠A = 90°，，經過這個三角形重心的直線DE // BC，分別交邊AB、AC于點D和點E，P是線段DE上的一個動點，過點P分別作PM⊥BC，PF⊥AB，PG⊥AC，垂足分別為點M、F、G．設BM = x，四邊形AFPG的面積為y．

（1）求PM的長；
（2）求y關于x的函數解析式，并寫出它的定義域；
（3）聯結MF、MG，當△PMF與△PMG相似時，求BM的長．

Answer 1

（1）PM =1（2） () （3）或．

試題分析：解：（1）過點A作AH⊥BC，垂足為點H，交DE于點Q．
∵ ∠BAC = 90°，，∴BC = 6．
又∵ AH⊥BC，∴ ，Q是△ABC的重心．
∴ ．
∵ DE // BC，PM⊥BC，AH⊥BC，
∴ PM = QH = 1．
（2）延長FP，交BC于點N．
∵ ∠BAC = 90°，AB = AC，∴ ∠B = 45°．
于是，由 FN⊥AB，得 ∠PNM = 45°．
又由 PM⊥BC，得 MN = PM = 1，．
∴ BN = BM +MN = x +1，．
∴ ，
．
∵ PF⊥AB，PG⊥AC，∠BAC = 90°，∴ ∠BAC =∠PFA =∠PGA = 90°．
∴ 四邊形AFPG是矩形．
∴ ，
即 所求函數解析式為．
定義域為．
（3）∵ 四邊形AFPG是矩形，∴ ．
由 ∠FPM =∠GPM = 135°，可知，當△PMF與△PMG相似時，有兩種
情況：∠PFM =∠PGM或∠PFM =∠PMG．
（ⅰ）如果 ∠PFM =∠PGM，那么 ．即得 PF = PG．
∴ ．
解得 x = 3．即得 BM = 3．
（ⅱ）如果 ∠PFM =∠PMG，那么 ．即得 ．
∴ ．
解得 ，．
即得 或．
∴ 當△PMF與△PMG相似時，BM的長等于或3或．
點評：該題相對較復雜，主要考查學生對幾何圖中線段的關系、面積等的表達式，求線段的長度除了可以直接求得，還可以通過等量代換求出。