Question

【題目】如圖，已知等腰直角三角形中，、、分別為邊、、的中點，點為斜邊所在直線上一動點，且三角形為等腰直角三角形（，、、呈逆時針）．

如圖點在邊上，判斷和的數量和位置關系，請直接寫出你的結論．

如圖點在點左側時；如圖，點在點右側．其他條件不變，中結論是否仍然成立，并選擇圖或圖的一種情況來說明理由．

在圖中若，連接，請猜測與的數量關系，即________．（用含的三角函數的式子表示）

Answer 1

【答案】（1）AN=MF且AN⊥MF；（2）成立，證明詳見解析；（3）（sinα+cosα）．

【解析】

（1）連接DF，則DF就是△ABC的中位線，即可得△BDF是等腰直角三角形，所以BD=DF=AD，由∠AND+∠FDN=90°，∠FDM+∠FDN=90°可得∠AND=∠FDM，在△AND和△FDM中，DN=DM，∠AND=∠FDM，AD=DF，利用SAS判定△AND≌△FDM，根據全等三角形的性質可得AN=FM，∠DAN=∠DFM=45°，根據等腰三角形的三線合一的性質即可得AN⊥MF；（2）成立，選擇圖②，類比（1）的方法即可證明；（3）證明△DAN≌△EAN，得出EN=DN，進一步得出DM=EN，作DH⊥BC于H，由∠DFM=45°，證得△DHF是等腰直角三角形，得出FH=DH，然后解直角三角形得出MH=DMsinα，DH=DMcosα，從而得出MF=MH+FH=DM（sinα+cosα）=（sinα+cosα）EN．

（1）AN=MF且AN⊥MF；

（2）成立．

連接DF，NF，如圖2①，

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴AB=AC，∠BAC=90°．

又∵D，E，F是三邊的中點，

∴DF∥AC，DF=AC=AB=AD，

∴∠BDF=90°，∠MFD=∠C=45°，

∴∠MDN=∠BDF，

∴∠FDM=∠ADN，

在△FDM和△ADN中， ，

∴△FDM≌△ADN（SAS），

∴FM=AN，∠DAN=∠MFD=45°．

∴AN是∠BAC的平分線，

∴AN⊥BC，

即AN⊥MF；

（3）由（2）可知：∠DAN=∠EAN，如圖2②，

∵D、E分別為邊AB、ACC的中點，AB=AC，

∴AD=AE，

在△DAN和△EAN中， ，

∴△DAN≌△EAN（SAS），

∴EN=DN，

∵DM=DN，

∴DM=EN，

作DH⊥BC于H，

∵∠DFM=45°，

∴△DHF是等腰直角三角形，

∴FH=DH，

∵MH=DMsinα，DH=DMcosα，

∴FH=DH=DMcosα，

∴MF=MH+FH=DM（sinα+cosα）=（sinα+cosα）EN，

即MF=（sinα+cosα）EN；

故答案為：（sinα+cosα）．