Question

（2003•吉林）關于圖形變化的探討：
（1）①例題1．如圖1，AB是⊙O的直徑，直線l與⊙O有一個公共點C，過A、B分別作l的垂線，垂足為E、F，則EC=CF．
②上題中，當直線l向上平行移動時，與⊙O有了兩個交點C₁、C₂，其它條件不變，如圖2，經過推證，我們會得到與原題相應的結論：EC₁=C₂F．
③把直線1繼續向上平行移動，使弦C₁C₂與AB交于點P（P不與A，B重合）．在其它條件不變的情況下，請你在圖3的圓中將變化后的圖形畫出來，標好對應的字母，并寫出與①②相應的結論等式．判斷你寫的結論是否成立，若不成立，說明理由，若成立，給以證明．結論______．證明結論成立或說明不成立的理由
（2）①例題2．如圖4，BC是⊙O的直徑．直線1是過C點的切線．N是⊙O上一點，直線BN交1于點M．過N點的切線交1于點P，則PM²=PC²．
②把例題2中的直線1向上平行移動，使之與⊙O相交，且與直線BN交于B、N兩點之間．其它條件仍然不變，請你利用圖5的圓把變化后的圖形畫出來，標好相應的字母，并寫出與①相應的結論等積式，判斷你寫的結論是否成立，若不成立，說明理由，若成立，給以證明．結論______．證明結論成立或說明不成立的理由：
（3）總結：請你通過（1）、（2）的事實，用簡練的語言，總結出某些幾何圖形的一個變化規律______．

Answer 1

【答案】分析：（1）過O作OM⊥C₁C₂于M，則AE∥OM∥BF，根據平行截割定理，得EM=MF，由垂直弦的半徑平分弦，最后的出結論．
（2）連接ON，由題的條件可得出∠NMP+∠B=∠BMC₃+∠B，進而求出PM=PN，由切割線定理即可得出結論．
（3）總結（1）和（2），可以知道結論不變．
解答：解：（1）結論為EC₁=C₂F．
證明：過O作OM⊥C₁C₂于M，
則AE∥OM∥BF，
∵AO=OB，根據平行截割定理，得EM=MF，
又∵C₁O=OC₂，
∴EC1=C2F；

（2）結論為PM²=PC₁•PC₂．
證明：連接ON，
∵PN是切線，O是圓心，
∴∠MNP+∠ONB=90°．
又∠ONB=∠B，BC⊥l，
∴∠NMP+∠B=∠BMC₃+∠B=90°，
∴∠MNP=∠NMP，
∴PM=PN．
由PM=PN，
由切割線定理得
PN²=PC₁•PC₂，
∴PM²=PC₁•PC₂．

（3）在某些幾何圖形中，平行移動某條直線，有些幾何關系保持不變．
點評：本題考查的知識面很廣，涉及切線的性質，切割線定理，要仔細審題．