Question

【題目】如圖，△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，若動點P從點C開始，按C→A→B→C的路徑運動，且速度為每秒1cm，設出發的時間為t秒．

（1）若點P恰好在∠BAC的角平分線上，求t的值；

（2）問t為何值時，△BCP為等腰三角形？

（3）另有一點Q，從點C開始，按C→B→A→C的路徑運動，且速度為每秒2cm，若P、Q兩點同時出發，當P、Q中有一點到達終點時，另一點也停止運動．當t為何值時，直線PQ把△ABC的周長分成相等的兩部分？

Answer 1

【答案】（1）；（2）3s、5.4s、6s、6.5s；（3）2或6秒

【解析】試題分析：（1）過P作PE⊥AB，設CP=2t，根據角平分線的性質和勾股定理進行解答即可；

（2）分類討論：當CP=CB時，△BCP為等腰三角形，若點P在AC上得t=3（s），若點P在AB上，則t=5.4s；當PC=PB時，△BCP為等腰三角形，作PD⊥BC于D，根據等腰三角形的性質得BD=CD，則可判斷PD為△ABC的中位線，則AP=AB=，易得t=（s）；當BP=BC=3時，△BCP為等腰三角形，則AP=AB-BP=2，易得t=6（s）；

（3）分兩種情況討論：當P點在AC上，Q在AB上，則PC=t，BQ=2t-3，t+2t-3+3=6；當P點在AB上，Q在AC上，則AC=t-4，AQ=2t-8，t-4+2t-8=6，分別求得t的值即可．

試題解析：（1）如圖1，過P作PE⊥AB，

∵點P恰好在∠BAC的角平分線上，且∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，

∴CP=EP，

∴△ACP≌△AEP（HL），

∴AC=4cm=AE，BE=5-4=1，

設CP=x，則BP=3-x，PE=x，

∴Rt△BEP中，BE2+PE2=BP2，

即12+x2=（3-x）2

解得x=，

∴BP=3-=，

∴CA+AB+BP=4+5+=，

∴t=÷1=（s）；

（2）如圖2，當CP=CB時，△BCP為等腰三角形，

若點P在CA上，則1t=3，

解得t=3（s）；

如圖3，當BP=BC=3時，△BCP為等腰三角形，

∴AP=AB-BP=2，

∴t=（4+2）÷1=6（s）；

如圖4，若點P在AB上，CP=CB=3，作CD⊥AB于D，則根據面積法求得CD=，

在Rt△BCD中，由勾股定理得，BD=，

∴PB=2BD=

∴CA+AP=4+5-=5.4，

此時t=5.4÷1=5.4（s）；

如圖5，當PC=PB時，△BCP為等腰三角形，作PD⊥BC于D，則BD=CD，

∴PD為△ABC的中位線，

∴AP=BP=AB=，

∴t=（4+）÷1=（s）；

綜上所述，t為3s或5.4s或6s或s時，△BCP為等腰三角形；

（3）如圖6，當P點在AC上，Q在AB上，則PC=t，BQ=2t-3，

∵直線PQ把△ABC的周長分成相等的兩部分，

∴t+2t-3+3=6，

∴t=2（s）；

如圖7，當P點在AB上，Q在AC上，則AP=t-4，AQ=2t-8，

∵直線PQ把△ABC的周長分成相等的兩部分，

∴t-4+2t-8=6，

∴t=6（s）；

綜上所述，當t=2或6秒時，直線PQ把△ABC的周長分成相等的兩部分．