Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B是直角，AB＝14 cm，AD＝18 cm．BC＝21 cm，點P從點A出發，沿邊AD向點D以1 cm/s的速度移動，點Q從點C出發沿邊CB向點B以9cm/s的速度移動，若有一點運動到端點時，另一點也隨之停止．如果P、Q同時出發，能否有四邊形PQCD成等腰梯形？如果存在，求經過幾秒后四邊形PQCD成等腰梯形；如果不存在，請說明理由．(本題9分)

Answer 1

不存在

分析：先假設存在，畫出圖形，按這種情況進行分析，先求出PD=18-t，CQ=9t，過點D作DF⊥BC，CF=（CQ-DP）/2，CF的長為3，從而求出t的值，再根據t的取值范圍，進行判斷。
解答：

設PQCD是等腰梯形時，過了t秒，
此時在梯形PQCD中，PD∥CQ，PQ=CD；
分別過P、D點作BC的垂線，分別交BC于E，F，
∵AB=14cm，AD=18cm，BC=21cm，∠B=90°，
∴PE=DF=AB=14，
∴CF=BC-AD=21-18=3，
∵經過t秒，AP=t，CQ=9t，
∴PD=18-t，QE=CQ-EF-CF=9t-（18-t）-3=10t-21；
根據勾股定理：
PQ²=PE²+QE²，
CD²=DF²+CF²，
∵PQ=CD，
∴PE²+QE²=DF²+CF²，
將數值代入得：14²+（10t-21）²=14²+3²，
求得t=2.4或1.8，
然而當t=2.4時，Q點運動距離為9×2.4=21.6＞21，不滿足要求，故舍掉，
∴當t=1.8時，PD=18-1.8=16.2，QC=1.8×9=16.2，PD=QC，
∴四邊形PQCD為平行四邊形；
故不存在等腰梯形。
點評：本題考查了動點問題，是難點，也是中考的重點，需熟練掌握。