Question

點C是半徑為1的半圓弧AB的一個三等分點，分別以弦AC、BC為直徑向外側作2個半圓，點D、E也分別是2半圓弧的三等分點，再分別以弦AD、DC、CE、BE為直徑向外側作4個半圓．則圖中陰影部分（4個新月牙形）的面積和是（　　）

• A、

  3

  4

• B、

  3

  2

• C、

  3 3

  4

• D、

  3

Answer 1

分析：根據所給的圖形結合三角函數的知識可得出AC、BC、BE、CE的長度，然后根據四邊形ABED為直角梯形，外層4個半圓無重疊得出S_陰影=S_△ADC+S_△BCE，繼而可得出答案．

解答：解：易知D、C、E三點共線，
點C是半徑為1的半圓弧AB的一個三等分點，
∴

AC

對的圓心角為

180°

3

=60°，
∴∠ABC=30°，
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，
∴AC=

1

2

AB=1，BC=AB•COS30°=

3

，
BE=BC•COS30°=

3

2

，CE=DC=

3

2

，AD=

1

2

，
且四邊形ABED為直角梯形，外層4個半圓無重疊．
從而，S_陰影=S_梯形ABED+

π

2

(

1

4

AD2+

1

4

DC2+

1

4

CE2+

1

4

BE2)-S_△ABC-

π

2

(

1

4

AC2+

1

4

BC2)，
=S_△ADC+S_△BCE，
=

1

2

×

1

2

×

3

2

+

1

2

×

3

2

×

3

2

=

3

2

．
故選B．

點評：本題考查了面積及等積變換的知識，難度較大，關鍵是仔細觀察圖形得出要求陰影部分面積的另一種表達方式，從而進行變換求解．