Question

【題目】在數軸上，把表示數1的點稱為基準點，記作點. 對于兩個不同的M和N，若點M、點N到點的距離相等，則稱點M與點N互為基準變換點. 例如：圖中，點M表示數，點N表示數3，它們與基準點的距離都是2個單位長度，點M與點N互為基準變換點.

（1）已知點A表示數a，點B表示數b，點A與點B互為基準變換點.

① 若a=0，則b= ；若，則b= ；

② 用含a的式子表示b，則b= ；

（2）對點A進行如下操作：先把點A表示的數乘以，再把所得數表示的點沿著數軸向左移動3個單位長度得到點B. 若點A與點B互為基準變換點，則點A表示的數是 ；

（3）點P在點Q的左邊，點P與點Q之間的距離為8個單位長度．對P、Q兩點做如下操作：點P沿數軸向右移動k（k>0）個單位長度得到， 為的基準變換點，點沿數軸向右移動k個單位長度得到， 為的基準變換點，……,依此順序不斷地重復，得到， ，…， . 為Q的基準變換點,將數軸沿原點對折后的落點為， 為的基準變換點, 將數軸沿原點對折后的落點為，……，依此順序不斷地重復，得到， ，…， .若無論k為何值， 與兩點間的距離都是4，則n= .

Answer 1

【答案】（1）①2，-2；②；（2）；（3）4或12.

【解析】（1）①根據互為基準變換點的定義可得出a+b=2，代入數據即可得出結論；②根據a+b=2，變換后即可得出結論；

（2）設點A表示的數為x，根據點A的運動找出點B，結合互為基準變換點的定義即可得出關于x的一元一次方程，解之即可得出結論；

（3）根據點Pn與點Qn的變化找出變化規律“P4n=m、Q4n=m+8-4n”，再根據兩點間的距離公式即可得出關于n的含絕對值符號的一元一次方程，解之即可得出結論．

解：(1)①∵點A表示數a，點B表示數b，點A與點B互為基準變換點，

∵a+b=2.

當a=0時，b=2；當a=4時，b=2.

故答案為：2；2.

②∵a+b=2，

∴b=2a.

故答案為：2a.

(2)設點A表示的數為x，

根據題意得： x3+x=2，

解得：x=.

故答案為： .

(3)設點P表示的數為m，則點Q表示的數為m+8，

由題意可知：P1表示的數為m+k,P2表示的數為2(m+k),P3表示的數為2m,P4表示的數為m,P5表示的數為m+k，…，

Q1表示的數為m6,Q2表示的數為m+6,Q3表示的數為m4,Q4表示的數為m+4,Q5表示的數為m2,Q6表示的數為m+2，…，

∴P4n=m,Q4n=m+84n.

令|m(m+84n)|=4，即|84n|=4，

解得：4n=4或4n=12.

故答案為：4或12.