Question

（2013•翔安區(qū)一模）如圖，AB是⊙O的直徑，BD是⊙O的弦，延長BD到點C，使DC=BD，連結(jié)AC，過點D作DE⊥AC，垂足為E．
（1）求證：DE為⊙O的切線；
（2）若∠BAC=60°，CE=3，則⊙O的半徑是多少？

Answer 1

分析：（1）證明：連接OD，由AO=BO，BD=CD得OD為△ACB的中位線，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)得OD∥AC，根據(jù)平行線的性質(zhì)由DE⊥AC得到DE⊥OD，于是根據(jù)切線的判定定理即可得到結(jié)論；
（2）由AB為⊙O的直徑得到∠ADB=90°，則可判斷△ABC為等腰三角形，而∠BAC=60°，所以△ABC為等邊三角形，所以∠C=60°，AB=BC，在Rt△CED中，利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到CD=BD=6，則AB=12，于是有AO=6．

解答：（1）證明：如圖，連接OD，
∵AO=BO，BD=CD，
∴OD為△ACB的中位線，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切線；

（2）解：∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
又∴BD=CD，
∴△ABC為等腰三角形，
∵∠BAC=60°，
∴△ABC為等邊三角形，
∴∠C=60°，AB=BC，
∴∠CDE=30°，
在Rt△CED中，
∵CE=3，∠CDE=30°，
∴CD=BD=6，
∴AB=12，
∴AO=6，即⊙O的半徑等于6．

點評：本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．也考查了圓周角定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及含30度的直角三角形三邊的關(guān)系．