Question

如圖，菱形ABCD的邊長為12cm，∠ABC=30°，E為AB上一點，且AE=4cm，動點P從B點出發，以1cm/s的速度沿BC邊向點C運動，PE交射線DA于點M，設運動時間為t（s）．

（1）當t為何值時，△MAE的面積為3cm²？
（2）在點P出發的同時，動點Q從點D出發，以1cm/s的速度沿DC邊向點C運動，連接MQ、PQ，試求△MPQ的面積S（cm²）與t（s）之間的函數關系式，并求出當t為何值時，△MPQ的面積最大，最大值為多少？
（3）連接EQ，則在運動中，是否存在這樣的t，使得△PQE的外心恰好在它的一邊上？若存在，請直接寫出滿足條件的t的個數，并選擇其一求出相應的t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先證明△EAM∽△EBP，進而得到==，然后表示出AE=4cm，BE=8cm，BP=tcm，又可得到AM=tcm，再根據S_△EAM=3cm²，可得方程×t×2=3，解方程可得t的值；
（2）梯形和三角形面積公式表示出S_△MPQ，進而利用二次函數最值得出即可；
（3）首先根據△PQE的外心恰好在它的一邊上，則△PQE為直角三角形，再利用垂直平分線的性質得出即可．
解答：解：（1）如圖1，∵四邊形ABCD 為菱形，
∴AD∥BC．
∴△EAM∽△EBP．
∴==，
∵AE=4cm，BE=8cm，BP=tcm，
∴AM=tcm，
過E作EN⊥AD，
∵∠MAE=30°、AE=4cm，
∴EN=AE=2cm，
∵S_△EAM=3cm²，
∴×t×2=3，
解得t=6，
∴當t為6s時，△MAE的面積為3cm²；

（2）∵AD∥BC，
∴S_梯PCDM=72-t，
∵S_△PCQ=，S_△MQD=，
∴S_△MPQ=-t²+t+36，
∴S_△MPQ=- （t-2）²+，
當t=2時，S最大值為；

（3）t的值有兩個，
如圖2，
∵△PQE的外心恰好在它的一邊上，
∴△PQE為直角三角形，
由BP=DQ、BC=DC可得PQ∥BD，
若∠EPQ=90°，則可得PE⊥BD （或PE∥AC），
∴BP=BE=8cm，即當t=8s時，∠EPQ=90°．
點評：此題主要考查了相似三角形的判定與性質以及二次函數最值求法等知識，此題綜合性較強，注意題目已知條件的轉化．