Question

【題目】如圖1，點O為直線AB上一點，過點O作射線OC，使∠BOC=120°．將一直角三角板的直角頂點放在點O處，一邊OM在射線OB上，另一邊ON在直線AB的下方．

（1）將圖1中的三角板繞點O逆時針旋轉至圖2，使一邊OM在∠BOC的內部，且恰好平分∠BOC．問：此時直線ON是否平分∠AOC？請說明理由．

（2）將圖1中的三角板繞點O以每秒10°的速度沿順時針方向旋轉一周，在旋轉的過程中，第t秒時，直線ON恰好平分銳角∠AOC，則 t的值為 秒（直接寫出結果）．

（3）將圖1中的三角板繞點O順時針旋轉至圖3，使ON在∠AOC的內部，試探索：在旋轉過程中，∠AOM與∠NOC的差是否發生變化？若不變，請求出這個差值；若變化，請求出差的變化范圍．

Answer 1

【答案】（1）直線ON平分∠AOC；（2）12或30秒；（3）差為定值30°．

【解析】試題分析：（1）直線ON平分∠AOC，設ON的反向延長線為OD，已知OM平分∠BOC，根據角平分線的定義可得∠MOC=∠MOB，又由OM⊥ON，根據垂直的定義可得∠MOD=∠MON=90°，所以∠COD=∠BON，再根據對頂角相等可得∠AOD=∠BON，即可∴∠COD=∠AOD，結論得證；（1）已知∠BOC=120°，根據平角的定義可得∠AOC=60°，旋轉至直線ON恰好平分銳角∠AOC，可得旋轉120°或300°時ON平分∠AOC，由此可得10t=120°或300°，所以n=12或30；（3）差為定值30°，因為∠MON=90°，∠AOC=60°，所以∠AOM=90°-∠AON，∠NOC=60°-∠AON，再根據角的的和差計算即可．

試題解析：

（1）直線ON平分∠AOC．理由：

設ON的反向延長線為OD，

∵OM平分∠BOC，

∴∠MOC=∠MOB，

又∵OM⊥ON，

∴∠MOD=∠MON=90°，

∴∠COD=∠BON，

又∵∠AOD=∠BON（對頂角相等），

∴∠COD=∠AOD，

∴OD平分∠AOC，即直線ON平分∠AOC．

（2）12或30秒

（3）差為定值30°

∵∠MON=90°，∠AOC=60°，

∴∠AOM=90°-∠AON、∠NOC=60°-∠AON，

∴∠AOM-∠NOC=（90°-∠AON）-（60°-∠AON）=30°．