Question

【題目】在平面直角坐標系中，為原點，拋物線經過點，對稱軸為直線，點關于直線的對稱點為點.過點作直線軸，交軸于點.

（Ⅰ）求該拋物線的解析式及對稱軸；

（Ⅱ）點在軸上，當的值最小時，求點的坐標；

（Ⅲ）拋物線上是否存在點，使得，若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）拋物線的解析式為;拋物線的對稱軸為直線;（Ⅱ）點坐標為;（Ⅲ）存在，點坐標為或，理由見解析

【解析】

（Ⅰ）將點代入二次函數的解析式，即可求出a，再根據對稱軸的公式即可求解.

（Ⅱ）先求出B點胡坐標，要求胡最小值，只需找到B關于軸的對稱點，則直線A與y軸的交點就是點P，根據待定系數法求出AB1的解析式，令y=0，即可求出P點的坐標.

（Ⅲ）設點Q的坐標，并求出△AOQ面積，從而得到△AOQ面積，根據Q點胡不同位置進行分類，用m及割補法求出面積方程，即可求解.

（Ⅰ）∵經過點，

∴，解得，

∴拋物線的解析式為，

∵，

∴拋物線的對稱軸為直線.

（Ⅱ）∵點，對稱軸為，

∴點關于對稱軸的對稱點點坐標為.

作點關于軸的對稱點，得，

設直線AB1的解析式為，

把點，點代入得，

解得，∴.

∴直線與軸的交點即為點.

令得，

∵點坐標為.

（Ⅲ）∵，軸，∴，，

∴，

又∵，∴.

設點坐標為，

如圖情況一，作，交延長線于點，

∵，

∴，

化簡整理得，

解得，.

如圖情況二，作，交延長線于點，交軸于點，

∵，

∴，

化簡整理得，

解得，，

∴點坐標為或，

∴拋物線上存在點，使得.