Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C（0，），頂點為D，對稱軸與x軸交于點H，過點H的直線l交拋物線于P，Q兩點，點Q在y軸的右側．

（1）求a的值及點A，B的坐標；

（2）當直線l將四邊形ABCD分為面積比為3：7的兩部分時，求直線l的函數表達式；

（3）當點P位于第二象限時，設PQ的中點為M，點N在拋物線上，則以DP為對角線的四邊形DMPN能否為菱形？若能，求出點N的坐標；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1），A（－4，0），B（2，0）；（2）y＝2x＋2或；（3）存在，N（－， 1）．

【解析】

試題分析：（1）把點C代入拋物線解析式即可求出a，令y=0，列方程即可求出點A、B坐標．

（2）先求出四邊形ABCD面積，分兩種情形：①當直線l邊AD相交與點M1時，根據S△AHM1＝×10＝3，求出點M1坐標即可解決問題．②當直線l邊BC相交與點M2時，同理可得點M2坐標．

（3）設P（，）、Q（，）且過點H（﹣1，0）的直線PQ的解析式為y=kx+b，得到b=k，利用方程組求出點M坐標，求出直線DN解析式，再利用方程組求出點N坐標，列出方程求出k，即可解決問題．

試題解析：（1）∵拋物線與y軸交于點C（0，），∴a﹣3=，解得：，∴

當y=0時，有，∴ ，，∴A（﹣4，0），B（2，0）．

（2）∵A（﹣4，0），B（2，0），C（0，），D（﹣1，﹣3）

∴S四邊形ABCD=S△ADH+S梯形OCDH+S△BOC==10．

從面積分析知，直線l只能與邊AD或BC相交，所以有兩種情況：

①當直線l邊AD相交與點M1時，則S△AHM1＝×10＝3，∴×3×（－yM1）＝3，∴yM1＝－2，點M1（﹣2，﹣2），過點H（﹣1，0）和M1（﹣2，﹣2）的直線l的解析式為y=2x+2．

②當直線l邊BC相交與點M2時，同理可得點M2（，﹣2），過點H（﹣1，0）和M2（，﹣2）的直線l的解析式為．

綜上所述：直線l的函數表達式為y=2x+2或．

（3）設P（，）、Q（，）且過點H（﹣1，0）的直線PQ的解析式為y=kx+b，∴﹣k+b=0，∴b=k，∴y=kx+k．

由，∴，∴，，∵點M是線段PQ的中點，∴由中點坐標公式的點M（，）．

假設存在這樣的N點如圖，直線DN∥PQ，設直線DN的解析式為y=kx+k﹣3，由，解得：， ， ∴N（，）．

∵四邊形DMPN是菱形，∴DN=DM，∴，整理得：，，∵ ＞0，∴，解得，∵k＜0，∴，∴P（－，6），M（－，2），N（－， 1），∴PM=DN=，∵PM∥DN，∴四邊形DMPN是平行四邊形，∵DM=DN，∴四邊形DMPN為菱形，∴以DP為對角線的四邊形DMPN能成為菱形，此時點N的坐標為（﹣，1）．