Question

【題目】（14分）如圖，二次函數y=-x2+bx+c的圖像經過點A（4,0）B（-4，-4），且與y軸交于點C．

（1）求此二次函數的解析式；

（2）證明：∠BAO=∠CAO（其中O是原點）；

（3）若P是線段AB上的一個動點（不與A、B重合），過P作y軸的平行線，分別交此二次函數圖像及x軸于Q、H兩點，試問：是否存在這樣的點 P，使PH=2QH？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=-x2+x+2．（2）見解析（3）（-1，-）與（-3，-）．

【解析】

試題分析：（1）把點A（4，0）與B（-4，-4）代入y=-x2+bx+c，然后解方程組即可；（2）過B作BD⊥x軸于點D，通過證tan∠CAO= tan∠BAD可得∠BAO=∠CAO；（3）求出直線AB的解析式， 設P（x，x-2），（＜＜4），然后用x表示出點Q的坐標以及線段PH、QH的長，然后根據PH=2QH可得方程，解方程即可．

試題解析：解：（1）∵點A（4，0）與B（-4，-4）在二次函數圖像上，

∴，解得，

∴二次函數解析式為y=-x2+x+2．

（2）過B作BD⊥x軸于點D，由（1）得C（0，2）

在Rt△AOC中，tan∠CAO===，

在Rt△ABD中，tan∠BAD= ==，

∵tan∠CAO= tan∠BAD ∴∠CAO=∠BAD

（3）由A（4，0）與B（-4，-4），可得直線AB的解析式為y=x-2，

設P（x，x-2），（＜＜4），則Q（x，-x2+x+2），

∴PH=|x-2|=2-x QH=|-x2+x+2|．

∴2-x =2|-x2+x+2|

當2-x =-x2+x+4， 解得 x1=-1，x2=4（舍去），∴P（-1，-）

當2-x =x2-x-4， 解得x1=-3，x2=4（舍去），∴P（-3，-）

綜上所述，存在滿足條件的點，它們是（-1，-）與（-3，-）．