Question

【題目】如圖，在中，，為邊上的中線，點在上，以點為圓心，長為半徑畫弧，交的延長線于點，點在上，且，連接．

（1）依題意補全圖形；

（2）求證：；

（3）若平分，則與滿足的等量關系為 ．

Answer 1

【答案】（1）見詳解；（2）證明見詳解；（3）∠BAE+∠ABE=60°．

【解析】

（1）根據相關作圖技巧，依題意補全圖形即可；

（2）由等腰三角形的性質得出∠ABE=∠AFG，∠EAB=∠GAF，證明△EAB≌△GAF（ASA），得出BE=FG，證明△EAB≌△EAC（SAS），得出BE=CE，即可得出結論；

（3）由（2）得∠CAE=∠BAE，△EAB≌△GAF，△EAB≌△EAC，由全等三角形的性質得出AE=AG，∠ABE=∠ACE，由等腰三角形的性質得出∠AEG=∠AGE，證出∠AEG=∠EAG=∠AGE，得出△AGE是等邊三角形，由等邊三角形的性質得出∠AEG=60°，由三角形的外角性質即可得出結論．

解：（1）依題意補全圖形，如圖所示：

（2）證明：由題意得：AB=AC=AF，

∴∠ABE=∠AFG，

∵∠EAC+∠CAG=∠EAG，∠CAG+∠GAF=∠CAF，∠EAG=∠CAF，

∴∠EAC=∠GAF，

∵AB=AC，AD為邊BC上的中線，

∴∠EAC=∠EAB，

∴∠EAB=∠GAF，

在△EAB和△GAF中，，

∴△EAB≌△GAF（ASA），

∴BE=FG，

在△EAB和△EAC中，，

∴△EAB≌△EAC（SAS），

∴BE=CE，

∴FG=CE.

（3）由（2）得：∠CAE=∠BAE，△EAB≌△GAF，△EAB≌△EAC，

∴AE=AG，∠ABE=∠ACE，

∴∠AEG=∠AGE，

∵EF平分∠AEC，

∴∠AEG=∠CEG，

∴∠AGE=∠CEG，

∴AG∥CE，

∴∠GAC=∠ACE，

∴∠ABE=∠GAC，

∵∠AEG=∠ABE+∠BAE，∠EAG=∠EAC+∠GAC，

∴∠AEG=∠EAG=∠AGE，

∴△AGE是等邊三角形，

∴∠AEG=60°，

∴∠BAE+∠ABE=60°.

故答案為：∠BAE+∠ABE=60°．