Question

（本小題滿分10分）已知關于x的方程mx²-(3m－1)x+2m－2=0
（1）求證：無論m取任何實數時，方程恒有實數根.
（2）若關于x的二次函數y= mx²-(3m－1)x+2m－2的圖象與x軸兩交點間的距離為2時，求拋物線的解析式.
（3）在直角坐標系xoy中，畫出（2）中的函數圖象，結合圖象回答問題：當直線y=x+b與（2）中的函數圖象只有兩個交點時，求b的取值范圍.

Answer 1

（1）略
（2）y₁= x（x－2）或y₂=（x－2）（x－4）
（3）當b<－或b>－或b=－2時，直線y=x+b與（2）中的圖象只有兩個交點

解：（1）分兩種情況討論：
①當m=0 時，方程為x－2=0，∴x="2" 方程有實數根
②當m≠0時，則一元二次方程的根的判別式
△=[－（3m－1）]²－4m（2m－2）=m²+2m+1=（m+1）²≥0
不論m為何實數，△≥0成立，∴方程恒有實數根
綜合①②，可知m取任何實數，方程mx²-(3m－1)x+2m－2=0恒有實數根.
（2）設x₁，x₂為拋物線y= mx²-(3m－1)x+2m－2與x軸交點的橫坐標.
則有x₁+x₂=，x₁·x₂=
由| x₁－x₂|====，
由| x₁－x₂|=2得=2，∴=2或=－2
∴m=1或m=
∴所求拋物線的解析式為：y₁=x²－2x或y₂=x²+2x－
即y₁= x（x－2）或y₂=（x－2）（x－4）其圖象如圖所示.

（3）在（2）的條件下，直線y=x+b與拋物線y₁，y₂組成的圖象只有兩個交點，結合圖象，求b的取值范圍.
，當y₁=y時，得x²－3x－b=0，△=9+4b=0，解得b=－；
同理，可得△=9－4（8+3b）=0，得b=－.
觀察函數圖象可知當b<－或b>－時，直線y=x+b與（2）中的圖象只有兩個交點.
由
當y₁=y₂時，有x=2或x=1
當x=1時，y=－1
所以過兩拋物線交點（1，－1），（2，0）的直線y=x－2，
綜上：當b<－或b>－或b=－2時，直線y=x+b與（2）中的圖象只有兩個交點.