Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC為直徑作⊙O交AB于點D，連接CD．

（1）求證：∠A=∠BCD；

（2）若M為線段BC上一點，試問當點M在什么位置時，直線DM與⊙O相切？并說明理由．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；（2）當MC=MD（或點M是BC的中點）時，直線DM與⊙O相切.

【解析】

試題分析：（1）根據圓周角定理可得∠ADC=90°，再根據直角三角形的性質可得∠A+∠DCA=90°，再由∠DCB+∠ACD=90°，可得∠DCB=∠A；

（2）當MC=MD時，直線DM與⊙O相切，連接DO，根據等等邊對等角可得∠1=∠2，∠4=∠3，再根據∠ACB=90°可得∠1+∠3=90°，進而證得直線DM與⊙O相切．

試題解析：（1）∵AC為直徑，

∴∠ADC=90°，

∴∠A+∠DCA=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠DCB+∠ACD=90°，

∴∠DCB=∠A；

（2）當MC=MD（或點M是BC的中點）時，直線DM與⊙O相切；

連接DO，

∵DO=CO，

∴∠1=∠2，

∵DM=CM，

∴∠4=∠3，

∵∠2+∠4=90°，

∴∠1+∠3=90°，

∴直線DM與⊙O相切，

故當MC=MD（或點M是BC的中點）時，直線DM與⊙O相切．