Question

（1）如圖①，平行四邊形ABCD的對角線AC，BD交于點O，直線EF過點O，分別交AD，BC于點E，F．求證：AE=CF．
（2）如圖②，將?ABCD（紙片）沿過對角線交點O的直線EF折疊，點A落在點A₁處，點B落在點B₁處，設FB₁交CD于點G，A₁B₁分別交CD，DE于點H，I．求證：EI=FG．

Answer 1

（1）通過證明△AOE和△COF全等得出AE=CF（2）通過證明△A₁IE與△CGF全等得出EI=FG..

試題分析：證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，OA=OC，
∴∠1=∠2，
在△AOE和△COF中，
，∴△AOE≌△COF（ASA），∴AE=CF；
（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠A=∠C，∠B=∠D，由（1）得AE=CF，
由折疊的性質可得：AE=A₁E，∠A₁=∠A，∠B₁=∠B，
∴A₁E=CF，∠A₁=∠A=∠C，∠B₁=∠B=∠D，又∵∠1=∠2，∴∠3=∠4，∵∠5=∠3，∠4=∠6，∴∠5=∠6，在△A₁IE與△CGF中，
，∴△A₁IE≌△CGF（AAS），∴EI=FG．

點評：此種試題為常考題，證明邊相等通常首選證明相關三角形全等，由其性質得出對應邊相等，學生要牢牢掌握全等三角形的五個判定。