Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx﹣5（a≠0）經過點A（4，﹣5），與x軸的負半軸交于點B，與y軸交于點C，且OC=5OB，拋物線的頂點為點D．

（1）求這條拋物線的解析式；
（2）連接AB，BC，CD，DA，求四邊形ABCD的面積．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵拋物線y=ax2+bx﹣5（a≠0）與y軸交于點C，

∴點C的坐標為（0，﹣5），

∴OC=5，

∵OC=5OB，

∴OB=1．

又∵點B在x軸的負半軸上，

∴點B的坐標為（﹣1，0）．

將A（4，﹣5），B（﹣1，0）代入y=ax2+bx﹣5中，

得： ，解得： ，

∴這條拋物線的解析式是y=x2﹣4x﹣5

（2）解：∵y=x2﹣4x﹣5=（x﹣2）2﹣9，

∴頂點D的坐標為（2，﹣9），

連接AC，如圖所示．

∵A（4，﹣5），C（0，﹣5），

∴AC∥x軸，

∴ ， ，

∴四邊形ABCD的面積=10+8=18．

【解析】（1）由二次函數圖象上點的作伴特征可求出點C的坐標，結合OC=5OB即可得出點B的坐標，根據點A、B的坐標利用待定系數法即可求出二次函數解析式；（2）將二次函數解析式變形為頂點式，由此即可得出點D的坐標，連接AC，將四邊形ABCD分成兩個三角形，再根據三角形的面積求出△ACB和△ACD的面積，將其相加即可得出結論．
【考點精析】利用拋物線與坐標軸的交點對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知一元二次方程的解是其對應的二次函數的圖像與x軸的交點坐標．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數中表示圖像與x軸是否有交點．當b2-4ac>0時，圖像與x軸有兩個交點；當b2-4ac=0時，圖像與x軸有一個交點；當b2-4ac<0時，圖像與x軸沒有交點．