Question

已知直線y=-x+4交x軸的正半軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過(guò)A、B，且拋物線上有不同的兩點(diǎn)E（k+3，-k²+1）和F（-k-1，-k²+1）．
（1）求A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，并求拋物線的解析式；
（2）設(shè)點(diǎn)P（x，y）（x＞0）是直線y=x上的一點(diǎn)，Q是OP的中點(diǎn)（O是原點(diǎn)）以PQ為對(duì)角線作正方形PEQF，若正方形與PEQF與直線AB有公共點(diǎn)，求x的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，記正方形PEQF與△OAB公共部分的面積為S，求S關(guān)于x的函數(shù)解析式，并探究S的最大值．

Answer 1

解：（1）當(dāng)x=0時(shí)，y=4，即B（0，4），
當(dāng)y=0時(shí)，x=4，即A（4，0），
∵拋物線上有不同的兩點(diǎn)E（k+3，-k²+1）和F（-k-1，-k²+1）的縱坐標(biāo)相等，
∴點(diǎn)E和點(diǎn)F關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱，
∴對(duì)稱軸x=-==1，
把點(diǎn)A，點(diǎn)B代入拋物線解析式中求得a=，b=1，c=4，
∴拋物線解析式為y=-x²+x+4；

（2）當(dāng)點(diǎn)P（x，x）在直線AB上時(shí)，x=-x+4，
解得x=2，
當(dāng)點(diǎn)Q（，）在直線AB上時(shí)，=-+4，
解得x=4．
所以，若正方形PEQF與直線AB有公共點(diǎn)，則2≤x≤4．

（3）當(dāng)點(diǎn)E（x，）在直線AB上時(shí)，（此時(shí)點(diǎn)F也在直線AB上）=-x+4，
解得x=．
①當(dāng)2≤x＜時(shí)，直線AB分別與PE、PF有交點(diǎn)，設(shè)交點(diǎn)分別為C、D，
此時(shí)，PC=x-（-x+4）=2x-4，
又PD=PC，
所以S_△PCD=PC²=2（x-2）²，
從而：S=x²-2（x-2）²=-x²+8x-8=-（x-）²+．
∵2≤＜，
∴當(dāng)x=時(shí)，S_max=．
②當(dāng)≤x≤4時(shí)，直線AB分別與QE、QF有交點(diǎn)，設(shè)交點(diǎn)分別為M、N，
此時(shí)，QN=（-+4）-=-x+4，
又QM=QN，
∴S_△QMN=QN²=（x-4）²，
即S=（x-4）²．
其中當(dāng)x=時(shí)，S_max=．
綜合①②得，當(dāng)x=時(shí)，S_max=．
分析：（1）由直線y=-x+4交x軸的正半軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，即可求得A，B的坐標(biāo)，又由拋物線上有不同的兩點(diǎn)E（k+3，-k²+1）和F（-k-1，-k²+1）的縱坐標(biāo)相等，即可求得此拋物線的對(duì)稱軸，利用待定系數(shù)法即可求得解析式；
（2）分別從當(dāng)點(diǎn)P（x，x）在直線AB上時(shí)與當(dāng)點(diǎn)Q（，）在直線AB上時(shí)分析，即可求得x的取值范圍；
（3）首先求得當(dāng)點(diǎn)E（x，）在直線AB上時(shí)x的值，再分別從當(dāng)2≤x＜時(shí)與當(dāng)≤x≤4時(shí)去分析，注意三角形的面積求解方法與二次函數(shù)最大值的求解方法的應(yīng)用．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，函數(shù)自變量的取值范圍的確定、二次函數(shù)最大值的確定以及三角形面積的求解等知識(shí)．此題綜合性很強(qiáng)，注意數(shù)形結(jié)合思想與分類討論思想的應(yīng)用．