Question

（2013•衡水模擬）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC是梯形，BC∥AO，頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)A（4，0），頂點(diǎn)B（1，4），動(dòng)點(diǎn)P從O點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速度沿OA的方向向A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長度的速度沿A→B→C的方向向C運(yùn)動(dòng)．當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)也隨之停止．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）當(dāng)t為何值時(shí)，PB與AQ互相平分？
（2）設(shè)△PAQ的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式．當(dāng)t為何值時(shí)，S有最大值？最大值是多少？
（3）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在某一時(shí)刻t，使得以PQ為直徑的圓與y軸相切？若存在，求出相應(yīng)的t值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)已知得出0≤t≤3，過B作BD⊥OA于D，得出矩形OCBD，求出OA=OC=BD=4，BC=1，AD=3，AB=5，根據(jù)PB與AQ互相平分得出Q在BC上，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和判定得出4-t=2t-5，求出即可；
（2）①當(dāng)0≤t＜

5

2

時(shí)，點(diǎn)Q在線段AB上運(yùn)動(dòng)，OP=t．AQ=2t，過Q作QH⊥OA于H，求出QH=QA•sin∠OAB=

8

5

t，求出S=-

4

5

（t-2）²+

16

5

，求出當(dāng)t=2時(shí)，S有最大值是

16

5

；②當(dāng)

5

2

≤≤3時(shí)，求出S=

1

2

•（4-t）•4=8-2t，求出當(dāng)t=

5

2

時(shí)，S有最大值是3，即可得出答案；
（3）①當(dāng)0≤t＜

5

2

時(shí)，點(diǎn)Q在線段AB上運(yùn)動(dòng)，求出P的坐標(biāo)、Q的坐標(biāo)，求出PQ²=（4-

6

5

t-t）²+（

8

5

t）²，求出PQ的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是2-

t

10

，得出方程2-

t

10

=

1

2

PQ，代入求出即可；
②當(dāng)

5

2

≤t≤3時(shí)，得出方程（3-

t

2

）²=

1

4

（9t²-36t+52），求出即可．

解答：解：（1）由題意得：0≤t≤3，
過B作BD⊥OA于D，
則四邊形OCBD是矩形，
∵A（4，0），B（1，4），
∴OA=OC=BD=4，BC=1，AD=4-1=3，
∴AB=

32+42

=5，
若PB與AQ互相平分，則Q在BC上，四邊形PABQ是平行四邊形，
∴PA=QB，
即4-t=2t-5，
∴t=3；

（2）①當(dāng)0≤t＜

5

2

時(shí)，點(diǎn)Q在線段AB上運(yùn)動(dòng)，OP=t．AQ=2t，
如圖1，過Q作QH⊥OA于H，
則QH=QA•sin∠OAB=2t•

4

5

=

8

5

t，
即S=

1

2

PA•QH=

1

2

•（4-t）•

8

5

t
=-

4

5

（t-2）²+

16

5

，
∵a=-

4

5

＜0，
∴當(dāng)t=2時(shí)，S有最大值是

16

5

；
②當(dāng)

5

2

≤≤3時(shí)，點(diǎn)Q在線段BC上運(yùn)動(dòng)，
∴S=

1

2

•（4-t）•4=8-2t，
∵-2＜0，
∴S隨t的增大而減小，
∴當(dāng)t=

5

2

時(shí)，S有最大值是3，
綜合上述，當(dāng)t=2時(shí)，S有最大值是

16

5

；

（3）①如圖2，當(dāng)0≤t＜

5

2

時(shí)，點(diǎn)Q在線段AB上運(yùn)動(dòng)，
由題意得：P的坐標(biāo)是（t，0），Q的坐標(biāo)是（4-

6

5

t，

8

5

t），
PQ²=（4-

6

5

t-t）²+（

8

5

t）²=

37

5

t²-

88

5

t+16，
PQ的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是（t+4-

6

5

t）÷2=2-

t

10

，
若以PQ為直徑的圓與y軸相切，則2-

t

10

=

1

2

PQ，
∴（2-

t

10

）²=

1

4

（

37

5

t²-

88

5

t+16），
解得：t=0（舍去），t=

50

23

，
∵

50

23

＜

5

2

，
∴t=

50

23

符合題意；
②當(dāng)

5

2

≤t≤3時(shí)，即Q在線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，
由題意P（t，0），Q（6-2t，4），
PQ²=（6-2t-t）²+16=9t²-36t+52，
PQ的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是

t+6-2t

2

，即3-

t

2

，
若以PQ為直徑的圓與y軸相切，則3-

t

2

=

1

2

PQ，
∴（3-

t

2

）²=

1

4

（9t²-36t+52），
解得：t=1或t=2，均不符合題意，舍去．
綜上所述，存在時(shí)刻t=

50

23

，使得以PQ為直徑的圓與y軸相切．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形的性質(zhì)和判定，平行四邊形的性質(zhì)和判定，切線的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算的能力，題目比較好，但是有一定的難度．