Question

（2013•濱湖區二模）我們把三角形內部的一個點到這個三角形三邊所在直線距離的最小值叫做這個點到這個三角形的距離．如圖1，PD⊥BC于D，PE⊥AC于E，PF⊥AB于F，如果PE≥PF≥PD，則稱PD的長度為點P到△ABC的距離．
在圖2、圖3中，已知A（6，0），B（0，8）．
（1）若圖2中點P的坐標為（2，4），求點P到△AOB的距離；
（2）若點R是圖3中△AOB內一點，且點R到△AOB的距離為1，請在圖3中畫出滿足條件的點R所構成的封閉圖形，并求出這個圖形的周長．

Answer 1

分析：（1）求出AB，過點P分別作PC⊥OA、PD⊥OB、PE⊥AB，垂足分別為C、D、E，根據三角形面積公式即可求出PE，即可得出答案；
（2）根據題意畫出圖形，根據三角形的中位線求出周長即可．

解答：解：（1）如圖2，

∵A（6，0），B（0，8），
∴OA=6，OB=8，
在Rt△AOB中，AB=10，
過點P分別作PC⊥OA、PD⊥OB、PE⊥AB，垂足分別為C、D、E，如圖2，
∵P（2，4），
∴PD=2，PC=4，
∵S_△POB+S_△PAB+S_△POA=S_△ABO，
∴

1

2

×8×2+

1

2

×6×4+

1

2

×10×PE=

1

2

×6×8，
∴PE=0.8，
∵4＞2＞0.8，
∴P到△AOB的距離為0.8；

（2）如圖3，

設點I為△AOB的內心，連接IA，IB，IO，分別取IA，IB，IO 的中點E，F，G，連接EF，FG，GE，則△EFG即為滿足條件的點R所構成的封閉圖形，如圖3，
由畫圖可知，△EFG∽△ABO，由上題及已知條件可知，△EFG與△ABO的相似比為

1

2

，
∵△ABO的周長為24，
∴△EFG的周長為12．

點評：本題考查了三角形的面積公式，勾股定理，三角形的中位線，三角形的內切圓與內心，坐標與圖形性質的應用，主要考查學生運用性質進行計算的能力．