Question

8．如圖，長方形紙片ABCD，點E、F分別在邊AB、CD上，連接EF，將∠BEF對折，點B落在直線EF上的B′處，得到折痕EC，將點A落在直線EF上的點A′處，得到折痕EN．
（1）若∠BEB′=110°，則∠BEC=55°，∠AEN=35°，∠BEC+∠AEN=90°．
（2）若∠BEB′=m°，則（1）中∠BEC+∠AEN的值是否改變？請說明你的理由．
（3）將∠ECF對折，點E剛好落在F處，且折痕與B′C重合，求∠DNA′．

Answer 1

分析 （1）根據折疊的性質可求出∠BEC和∠AEN的度數，然后求出兩角之和；
（2）不變．根據折疊的性質可得∠BEC=∠B'EC，根據∠BEB′=m°，可得∠BEC=∠B'EC=$\frac{1}{2}$∠BEB′=$\frac{1}{2}$m°，然后求出∠AEN，最后求和進行判斷；
（3）根據折疊的性質可得∠B'CF=∠B'CE，∠B'CE=∠BCE，進而得出∠B'CF=∠B'CE=∠BCE，求出其度數，在Rt△BCE中，可知∠BEC與∠BCE互余，然后求出∠BEC的度數，最后根據平角的性質和折疊的性質求解．

解答 解：（1）由折疊的性質可得，∠BEC=∠B'EC，∠AEN=∠A'EN，
∵∠BEB′=110°，
∴∠AEA'=180°-110°=70°，
∴∠BEC=∠B'EC=$\frac{1}{2}$∠BEB′=55°，∠AEN=∠A'EN=$\frac{1}{2}$∠AEA'=35°．
∴∠BEC+∠AEN=55°+35°=90°；
（2）不變．
由折疊的性質可得：∠BEC=∠B'EC，∠AEN=∠A'EN，
∵∠BEB′=m°，
∴∠AEA'=180°-m°，
可得∠BEC=∠B'EC=$\frac{1}{2}$∠BEB′=$\frac{1}{2}$m°，∠AEN=∠A'EN=$\frac{1}{2}$∠AEA'=$\frac{1}{2}$（180°-m°），
∴∠BEC+∠AEN=$\frac{1}{2}$m°+$\frac{1}{2}$（180°-m°）=90°，
故∠BEC+∠AEN的值不變；
（3）由折疊的性質可得：∠B'CF=∠B'CE，∠B'CE=∠BCE，
∴∠B'CF=∠B'CE=∠BCE=$\frac{1}{3}$×90°=30°，
在Rt△BCE中，
∵∠BEC與∠BCE互余，
∴∠BEC=90°-∠BCE=90°-30°=60°，
∴∠B'EC=∠BEC=60°，
∴∠AEA'=180°-∠BEC-∠B'EC=180°-60°-60°=60°，
∴∠AEN=$\frac{1}{2}$∠AEA'=30°，
∴∠ANE=90°-∠AEN=90°-30°=60°，
∴∠ANE=∠A'NE=60°，
∴∠DNA'=180°-∠ANE-∠A'NE=180°-60°-60°=60°．
故答案為：55，35，90．

點評 本題考查了翻折變換，涉及了折疊的性質、余角和補角的知識，根據條件求出各角的度數是解答本題的關鍵．