Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于原點和點，點在拋物線上．

（1）求拋物線的表達式，并寫出它的對稱軸；

（2）求的值；

（3）點在拋物線的對稱軸上，如果，求點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；對稱軸為；（2）2；（3）

【解析】

（1）將點O（0,0），點B（4,0）分別代入使用待定系數法即可求得解析式，然后再使用對稱軸公式解答即可；

（2）把點A（3，m）代入y=-x2+4x，求出m的值，得到點A的坐標，過點B作BM⊥OA，交OA于點M，過點A作AE⊥OB，交OB于點E，然后根據三角形的面積和勾股定理，求出線段BM和AM的長，最后運用正切的定義解答即可；

（3）把AB繞點B逆時針旋轉90°得到BC，作AE⊥OB于E,CF⊥OB于F,CA交直線x=2于D點，利用△BAC為等腰直角三角形得到∠CAB=45°，證明△ABE≌△BCF得到BF=AE=3，BE=CF=1，則C（1，-1），根據待定系數法求出直線AC的解析式為y=2x-3，然后計算自變量為2對應的一次函數值，即可確定D點的坐標.

解：由待定系數法得：

解得

所以拋物線的表達式為：y=-x2+4x，它的對稱軸為：x=

（2）把點A（3，m）代入y=-x2+4x，解得m==3，則點A的坐標為（3,3）

如圖：過點B作BM⊥OA，交OA于點M，過點A作AE⊥OB交OB于點E

AE=3,OE=3，BE=4-3=1，OA= , AB=

S△OAB=

∴BM

∴AM=

∴

（3）把AB繞點B逆時針旋轉90°得到BC，如圖所示，作AE⊥OB于E,CF⊥OB于F,CA交直線x=2于D點，

∵BA=BC，∠ABC=90°，

∴△BAC為等腰直角三角形

∴∠CAB=45°

∵∠ABE=∠BCF，∠AEB=∠BFC=90°

∴△ABE≌△BCF（AAS）

∴BF=AE=3，BE=CF=1

∴C(1，-1)

∴直線AC的解析式為y=2x-3，

∴當x=2時D點坐標為（2,1）