Question

（2013•同安區一模）如圖所示，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=6，AD=4，tanB=1．動點M、N分別從點D、B同時出發，沿線段DA和BA向A方向運動，動點N的運動速度是動點M運動速度的兩倍，當點M或點N誰先運動到點A時，M、N兩點同時停止運動．設動點M的運動速度是1個單位/秒，M、N運動的時間為x秒．
（1）當x=1時，求MN的長；
（2）是否存在x的值，使得△CMN是直角三角形？若存在，求出所有符合條件的x值；若不存在請說明理由．

Answer 1

分析：（1）首先求得AM、AN的長度，然后在直角△AMN中利用勾股定理即可求得；
（2）過C作CE⊥AB，垂足為E，利用運動時間x秒表示出CM、CN、MN的長，然后分∠CMN=90°，∠MCN=90°和∠MNC=90°三種情況進行討論，依據勾股定理即可列方程求得x的值．

解答：解：（1）當x=1時，DM=1，BN=2
∵AB=6，AD=4
∴AM=3，AN=4
∵∠A=90°
∴MN=

AM2+AN2

=5；

（2）存在．
過C作CE⊥AB，垂足為E，
∵DA⊥AB，
∴DA‖CE，
∵DC‖AE
∴四邊形AECD是平行四邊形，
∴CE=AD=4，AE=DC=2
在Rt△CEB中
∵tanB=1
∴CE=BE=4
當運動x秒時，DM=x，NB=2x，AN=6-2x，AM=4-x，EN=|4-2x|，（0≤x≤3）
∴CM²=4+x2，MN²=（4-x）²+（6-2x）²=52-32x+5x²，
CN²=16+（4-2x）²=32-16x+4x²，
1）當∠CMN=90°時，CN²=CM²+MN²，
∴32-16x+4x²=4+x²+52-32x+5x²，
解得：x=2或6（舍去），
∴當x=2時，△CMN是直角三角形；
2）當∠MCN=90°時，MN²=CM²+CN²，
則32-16x+4x²+4+x2=52-32x+5x²，
解得：x=1，
∴當x=1時，△CMN是直角三角形；
3）當∠MNC=90°時，CM²=MN²+CN²，
則32-16x²+4x²=4+x²-52+32x-5x²，
即x²-6x+10=0，
方程無解．

點評：本題考查了勾股定理和直角梯形的綜合應用，正確利用x表示出CM、CN、MN的長是關鍵．