Question

如圖，A、B兩點的坐標分別為（4，0），（0，3），動點P從O點出發沿x軸正方向以每秒2個單位的速度運動，動點Q從B點出發以每秒一個單位的速度向O點運動，點P、Q分別從O、B同時出發，當Q運動到原點O時，點P隨之停止運動，設運動時間為t（秒）．
（1）設△POQ的面積為s，求s與t的函數關系式；
（2）當線段PQ與AB相交于點E，且

PE

QE

=

1

3

時，求∠QPO的正切值；
（3）當t為何值時，以O、P、Q為頂點的三角形與△ABO相似．

Answer 1

分析：（1）根據題意，用t表示OP，OQ的長，用三角形的面積公式表示s，結合圖形寫出t的范圍；
（2）根據已知比例，構造平行線，作QG∥AB，利用平行線分線段成比例定理求OG，再用比例代換的方法求t，在直角△OPQ中求∠QPO的正切值；
（3）由于∠AOB=∠POQ，那么兩個三角形相似，有兩種對應關系：△PQO∽△ABO，△QPO∽△ABO，按照對應邊的比相等，分別求解．

解答：解：（1）∵OP=2t，BQ=t，
∴OQ=3-t，
∴S=

1

2

•2t（3-t）=t（3-t）（0≤t≤3）；

（2）如圖所示：作QG∥AB，
∴

OQ

OB

=

OG

OA

，
∴

3-t

3

=

OG

4

，
∴OG=4-

4

3

t，
∵

PE

QE

=

1

3

，
∴

PA

AG

=

1

3

，
∴

2t-4

4-(4- 4t 3 )

=

1

3

，
∴t=

18

7

，
∴tan∠QPO=

OQ

OP

=

1

12

；

（3）∵∠AOB=∠POQ，
∴當

OQ

OB

=

OP

OA

或

OQ

OA

=

OP

OB

時，兩三角形相似，即
∴

3-t

3

=

2t

4

或

3-t

4

=

2t

3

，
∴t=

6

5

或t=

9

11

，
∴當t=

6

5

或t=

9

11

時，以O、P、Q為頂點的三角形與△ABO相似．

點評：本題考查了面積的求法，利用平行構造相似比、相似三角形及其比例，根據題意尋找相似三角形的條件，本題還運用了分類討論的思想，具有較強的綜合性．