Question

如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，∠ABC=45°，AD=CD，CE平分∠ACB交AB于點E，在BC上截取BF=AE，連接AF交CE于點G，連接DG交AC于點H，過點A作AN⊥BC，垂足為N，AN交CE于點M．則下列結論；①CM=AF；②CE⊥AF；③△ABF∽△DAH；④GD平分∠AGC，其中正確的序號是           ．

Answer 1

①②③④.

試題分析：如解答圖所示：
結論①正確：證明△ACM≌△ABF即可；
結論②正確：由△ACM≌△ABF得∠2=∠4，進而得∠4+∠6=90°，即CE⊥AF；
結論③正確：證法一：利用四點共圓；證法二：利用三角形全等；
結論④正確：證法一：利用四點共圓；證法二：利用三角形全等．
試題解析：（1）結論①正確．理由如下：
∵∠1=∠2，∠1+∠CMN=90°，∠2+∠6=90°，
∴∠6=∠CMN，又∵∠5=∠CMN，
∴∠5=∠6，
∴AM=AE=BF．

易知ADCN為正方形，△ABC為等腰直角三角形，
∴AB=AC．
在△ACM與△ABF中，
，
∴△ACM≌△ABF（SAS），
∴CM=AF；
（2）結論②正確．理由如下：
∵△ACM≌△ABF，
∴∠2=∠4，
∵∠2+∠6=90°，
∴∠4+∠6=90°，
∴CE⊥AF；
（3）結論③正確．理由如下：
證法一：∵CE⊥AF，
∴∠ADC+∠AGC=180°，
∴A、D、C、G四點共圓，
∴∠7=∠2，
∵∠2=∠4，
∴∠7=∠4，
又∵∠DAH=∠B=45°，
∴△ABF∽△DAH；
證法二：∵CE⊥AF，∠1=∠2，
∴△ACF為等腰三角形，AC=CF，點G為AF中點．
在Rt△ANF中，點G為斜邊AF中點，
∴NG=AG，
∴∠MNG=∠3，
∴∠DAG=∠CNG．
在△ADG與△NCG中，
，
∴△ADG≌△NCG（SAS），
∴∠7=∠1，
又∵∠1=∠2=∠4，
∴∠7=∠4，
又∵∠DAH=∠B=45°，
∴△ABF∽△DAH；
（4）結論④正確．理由如下：
證法一：∵A、D、C、G四點共圓，
∴∠DGC=∠DAC=45°，∠DGA=∠DCA=45°，
∴∠DGC=∠DGA，即GD平分∠AGC．
證法二：∵AM=AE，CE⊥AF，
∴∠3=∠4，又∠2=∠4，∴∠3=∠2
則∠CGN=180°-∠1-90°-∠MNG=180°-∠1-90°-∠3=90°-∠1-∠2=45°．
∵△ADG≌△NCG，
∴∠DGA=∠CGN=45°=∠AGC，
∴GD平分∠AGC．
綜上所述，正確的結論是：①②③④，共4個．