Question

【題目】如圖，△ABC中，AC=BC，∠ACB=120°，點D在AB邊上運動（D不與A、B重合），連結CD．作∠CDE=30°，DE交AC于點E．

（1）當DE∥BC時，△ACD的形狀按角分類是直角三角形；

（2）在點D的運動過程中，△ECD的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，請求出∠AED的度數；若不可以，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）△ECD可以是等腰三角形，∠AED=105°

【解析】試題分析：(1)、由DE∥BC得到∠BCD=∠CDE=30°，再由∠ACB=120°，得到∠ACD=120°﹣30°=90°，則△ACD是直角三角形；(2)、分類討論：當∠CDE=∠ECD時，EC=DE；當∠ECD=∠CED時，CD=DE；當∠CED=∠CDE時，EC=CD；然后利用等腰三角形的性質和三角形的內角和定理進行計算．

試題解析：(1)、∵△ABC中，AC=BC， ∴∠A=∠B===30°，

∵DE∥BC， ∴∠ADE=∠B=30°， 又∵∠CDE=30°， ∴∠ADC=∠ADE+∠CDE=30°+30°=60°，

∴∠ACD=180°﹣∠A﹣∠ADC=180°﹣30°﹣60°=90°， ∴△ACD是直角三角形；

(2)、△ECD可以是等腰三角形．理由如下：

①當∠CDE=∠ECD時，EC=DE， ∴∠ECD=∠CDE=30°， ∵∠AED=∠ECD+∠CDE， ∴∠AED=60°，

②當∠ECD=∠CED時，CD=DE， ∵∠ECD+∠CED+∠CDE=180°，

∴∠CED===75°， ∴∠AED=180°﹣∠CED=105°，

③當∠CED=∠CDE時，EC=CD， ∠ACD=180°﹣∠CED﹣∠CDE=180°﹣30°﹣30°=120°，

∵∠ACB=120°， ∴此時，點D與點B重合，不合題意．

綜上，△ECD可以是等腰三角形，此時∠AED的度數為60°或105°