Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，E是AB邊的中點，沿EC對折矩形ABCD，使B點落在點P處，折痕為EC，連接EC，連結AP并延長AP交CD于F點，連接BP，交CE于點H．

（1）若∠PBA：∠PBC=1：2，判斷△PBC的形狀并說明；

（2）求證：四邊形AECF為平行四邊形．

Answer 1

【答案】（1）△PBC是等邊三角形，（2）證明見解析

【解析】

試題分析：（1）根據矩形得出∠ABC=90°，求出∠OBC=60°，根據折疊得出PC=BC，根據等邊三角形的判定得出即可；

（2）根據折疊得出BE=PE，求出∠1=∠2，求出AE=PE，推出∠3=∠4，根據三角形內角和定理求出∠2+∠3=90°，求出AF∥CE，根據平行四邊形的判定得出即可．

試題解析：（1）△PBC是等邊三角形，

理由是：在矩形ABCD中，∠ABC=90°，

∵∠PBA：∠PBC=1：2，

∴∠OBC=60°，

∵沿EC對折矩形ABCD，使B點落在點P處，

∴PC=BC，

∴△PBC是等邊三角形；

（2）

∵根據折疊得出△EBC≌△EPC，

∴BE=PE，

∴∠1=∠2，

∵E為AB的中點，

∴BE=AE，

∴AE=PE，

∴∠3=∠4，

∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，

∴∠2+∠3=90°，

∴BP⊥AF，

∵對折矩形ABCD，

∴BP⊥CE，

∴AF∥CE，

∵根據矩形ABCD得：AE∥CF，

∴四邊形AECF為平行四邊形．