Question

如圖，已知⊙O的半徑OA=，弦AB=4，點C在弦AB上，以點C為圓心，CO為半徑的圓與線段OA相交于點E．
（1）求cosA的值；
（2）設AC=x，OE=y，求y與x之間的函數解析式，并寫出定義域；
（3）當點C在AB上運動時，⊙C是否可能與⊙O相切？如果可能，請求出當⊙C與⊙O相切時的AC的長；如果不可能，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）過點O作OD⊥AB，垂足為D，根據垂徑定理求得AD=2；然后利用三角函數值的定義求得cosA的值；
（2）過點C作CF⊥OE，垂足為F．根據垂徑定理求得OF=；然后在Rt△ACF中，由三角函數值的定義求得AF=AC•cosA=x，再根據圖形知AF+OF=OA，據此列出函數關系式
y=2x；最后求定義域；
（3）在Rt△AOD中，利用勾股定理求得OD=1．當⊙C與⊙O相切時，由垂徑定理求得OC的長度，然后由勾股定理知CD=|AD-AC|=|2-x|，OD²+CD²=OC²，所以將其代入函數關系式，得到1²+（2-x）²=；最后通過解方程知當⊙C與⊙O相切時的AC的長為．
解答：解：（1）過點O作OD⊥AB，垂足為D，
∵AB是⊙O的弦，∴AD=AB=2，（1分）
∴cosA=．（1分）

（2）過點C作CF⊥OE，垂足為F，
∵OE是⊙C的弦，OF=，
在Rt△ACF中，AF=AC•cosA=x，（1分）
∵AF+OF=OA，∴．（1分）
∴函數解析式為y=2x．（1分）
函數定義域為．（1分）

（3）⊙C可能與⊙O相切．
在Rt△AOD中，OD==1．
當⊙C與⊙O相切時，OC=，（1分）
∵CD=|AD-AC|=|2-x|，OD²+CD²=OC²，
∴1²+（2-x）²=．（1分）
∴x₁=．（1分）
當x=時，⊙C與OA相切于點O，不符合題意．
∴當⊙C與⊙O相切時的AC的長為．（1分）
點評：本題綜合考查了切線的判定、垂徑定理、解直角三角形以及勾股定理．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．