Question

【題目】已知，點O是等邊△ABC內的任一點，連接OA，OB，OC．

（1）如圖1，已知∠AOB=150°，∠BOC=120°，將△BOC繞點C按順時針方向旋轉60°得△ADC．

①∠DAO的度數是 ；

②用等式表示線段OA，OB，OC之間的數量關系，并證明；

（2）設∠AOB=α，∠BOC=β．

①當α，β滿足什么關系時，OA+OB+OC有最小值？請在圖2中畫出符合條件的圖形，并說明理由；

②若等邊△ABC的邊長為1，直接寫出OA+OB+OC的最小值．

Answer 1

【答案】（1）90°；②線段OA，OB，OC之間的數量關系是OA2+OB2=OC2，證明見試題解析；

（2）①當α=β=120°時，OA+OB+OC有最小值．證明見試題解析；②線段OA，OB，OC之間的數量關系是OA2+OB2=OC2，證明見試題解析。

【解析】

試題分析：（1）①根據周角的定義得到∠AOC=360°﹣120°﹣150°=90°，由于將△BOC繞點C按順時針方向旋轉60°得△ADC，于是得到∠OCD=60°，∠D=∠BOC=120°，根據四邊形的內角和即可得到結論；②如圖1，連接OD，由于△BOC繞點C按順時針方向旋轉60°得△ADC，得到△ADC≌△BOC，∠OCD=60°，根據全等三角形的性質得到CD=OC，∠ADC=∠BOC=120°，AD=OB，推出△OCD是等邊三角形，根據等邊三角形的性質得到OC=OD=CD，∠COD=∠CDO=60°，由于∠AOB=150°，∠BOC=120°，得到∠AOC=90°，求得∠AOD=30°，∠ADO=60°，根據勾股定理即可得到結論；

（2）①如圖2，由旋轉的性質得到O′C=OC，O′A′=OA，A′C=BC，∠A′O′C=∠AOC．．推出△OC O′是等邊三角形，根據等邊三角形的性質得到OC=O′C=OO′，∠COO′=∠CO′O=60°，由于∠AOB=∠BOC=120°，得到∠AOC=∠A′O′C=120°，推出四點B，O，O′，A′共線，即可得到結論，②根據①的結論即可得到結果．

試題解析：（1）①∠AOB=150°，∠BOC=120°，∴∠AOC=360°﹣120°﹣150°=90°，

∵將△BOC繞點C按順時針方向旋轉60°得△ADC，

∴∠OCD=60°，∠D=∠BOC=120°，

∴∠DAO=360°﹣∠AOC﹣∠OCD﹣∠D=90°，

故答案為：90°；

②線段OA，OB，OC之間的數量關系是OA2+OB2=OC2，

如圖1，連接OD，

∵△BOC繞點C按順時針方向旋轉60°得△ADC，

∴△ADC≌△BOC，∠OCD=60°，∴CD=OC，∠ADC=∠BOC=120°，AD=OB，

∴△OCD是等邊三角形，∴OC=OD=CD，∠COD=∠CDO=60°，

∵∠AOB=150°，∠BOC=120°，∴∠AOC=90°，

∴∠AOD=30°，∠ADO=60°，∴∠DAO=90°，

在Rt△ADO中，∠DAO=90°，∴OA2+OB2=OD2，∴OA2+OB2=OC2；

（2）①當α=β=120°時，OA+OB+OC有最小值．

如圖2，將△AOC繞點C按順時針方向旋轉60°得△A′O′C，連接OO′，

∴△A′O′C≌△AOC，∠OCO′=∠ACA′=60°，

∴O′C=OC，O′A′=OA，A′C=BC，∠A′O′C=∠AOC．

∴△OC O′是等邊三角形，∴OC=O′C=OO′，∠COO′=∠CO′O=60°，

∵∠AOB=∠BOC=120°，∴∠AOC=∠A′O′C=120°，

∴∠BOO′=∠OO′A′=180°，∴四點B，O，O′，A′共線，

∴OA+OB+OC=O′A′+OB+OO′=BA′時值最小；

②∵∠AOB=∠BOC=120°，∴∠AOC=120°，∴O為△ABC的中心，

∵四點B，O，O′，A′共線，∴BD⊥AC，∵將△AOC繞點C按順時針方向旋轉60°得△A′O′C，

∴A′C=AC=BC，∴A′B=2BD，在Rt△BCD中，BD=BC=，∴A′B=，

∴當等邊△ABC的邊長為1時，OA+OB+OC的最小值A′B=．