Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax2-2ax-3a（a＜0）與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），經過點A的直線l：y=kx+b與y軸交于點C，與拋物線的另一個交點為D，且CD=4AC．

（1）直接寫出點A的坐標，并求直線l的函數表達式（其中k，b用含a的式子表示）；

（2）點E是直線l上方的拋物線上的一點，若△ACE的面積的最大值為，求a的值；

（3）設P是拋物線對稱軸上的一點，點Q在拋物線上，以點A，D，P，Q為頂點的四邊形能否成為矩形？若能，求出點P的坐標；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（-1，0），y=ax+a．（2）a=-；（3）P點的坐標為P1（1，-4），P2（1，-）．

【解析】

試題分析：（1）由拋物線y=ax2-2ax-3a（a＜0）與x軸交于兩點A、B，求得A點的坐標，作DF⊥x軸于F，根據平行線分線段成比例定理求得D的坐標，然后利用待定系數法法即可求得直線l的函數表達式．

（2）設點E（m，a（m+1）（m-3）），yAE=k1x+b1，利用待定系數法確定yAE=a（m-3）x+a（m-3），從而確定S△ACE=（m+1）[a（m-3）-a]=（m-）2-a，根據最值確定a的值即可；

（3）分以AD為對角線、以AC為邊，AP為對角線、以AC為邊，AQ為對角線三種情況利用矩形的性質確定點P的坐標即可．

試題解析：（1）令y=0，則ax2-2ax-3a=0，

解得x1=-1，x2=3

∵點A在點B的左側，

∴A（-1，0），

如圖1，作DF⊥x軸于F，

∴DF∥OC，

∴，

∵CD=4AC，

∴=4，

∵OA=1，

∴OF=4，

∴D點的橫坐標為4，

代入y=ax2-2ax-3a得，y=5a，

∴D（4，5a），

把A、D坐標代入y=kx+b得，

解得，

∴直線l的函數表達式為y=ax+a．

（2）如圖1，過點E作EN⊥y軸于點N

設點E（m，a（m+1）（m-3）），yAE=k1x+b1，

則，

解得：，

∴yAE=a（m-3）x+a（m-3），M（0，a（m-3））

∵MC=a（m-3）-a，NE=m

∴S△ACE=S△ACM+S△CEM= [a（m-3）-a]+ [a（m-3）-a]m

=（m+1）[a（m-3）-a]

= （m-）2-a，

∴有最大值-a=，

∴a=-；

（3）令ax2-2ax-3a=ax+a，即ax2-3ax-4a=0，

解得x1=-1，x2=4，

∴D（4，5a），

∵y=ax2-2ax-3a，

∴拋物線的對稱軸為x=1，

設P1（1，m），

①若AD是矩形的一條邊，

由AQ∥DP知xD-xP=xA-xQ，可知Q點橫坐標為-4，將x=-4帶入拋物線方程得Q（-4，21a），

m=yD+yQ=21a+5a=26a，則P（1，26a），

∵四邊形ADPQ為矩形，∴∠ADP=90°，

∴AD2+PD2=AP2，

∵AD2=[4-（-1）]2+（5a）2=52+（5a）2，

PD2=[4-（-1）]2+（5a）2=52+（5a）2，

∴[4-（-1）]2+（5a）2+（1-4）2+（26a-5a）2=（-1-1）2+（26a）2，

即a2=，∵a＜0，∴a=-，

∴P1（1，-）．

②若AD是矩形的一條對角線，

則線段AD的中點坐標為（，），Q（2，-3a），

m=5a-（-3a）=8a，則P（1，8a），

∵四邊形ADPQ為矩形，∴∠APD=90°，

∴AP2+PD2=AD2，

∵AP2=[1-（-1）]2+（8a）2=22+（8a）2，

PD2=（4-1）2+（8a-5a）2=32+（3a）2，

AD2=[4-（-1）]2+（5a）2=52+（5a）2，

∴22+（8a）2+32+（3a）2=52+（5a）2，

解得a2=，∵a＜0，∴a=-，

∴P2（1，-4）．

綜上可得，P點的坐標為P1（1，-4），P2（1，-）．