Question

【題目】已知，在平面直角坐標系中，A(1，a)、B(b，1)，其中a、b滿足＋(a＋b－7)2＝0．

(1) 求a、b的值；

(2) 平移線段AB至CD，其中A、B的對應點分別為C、D，若D的坐標為（0,n）且n<0,若四邊形ABDC的面積為20，求D的坐標；

（3）在（2）的條件下，將線段AB繞點A以每秒80的速度順時針旋轉，同時線段CD繞點D以每秒20的速度順時針旋轉（當AB旋轉到一周時兩線段同時停止旋轉），設運動時間為t秒，當t為何值時，直線AB與直線CD的夾角為600？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）D（0，）；（3）當t為10秒，20秒或40秒時，直線AB與直線CD的夾角為60°.

【解析】

（1）由a、b滿足＋(a＋b－7)2＝0可得：2a-b-2=0，a+b-7=0，由這兩個等式組成關于a、b的方程組，解此方程組即可求得a、b的值；

（2）如下圖，分別過點A，B作AE⊥y軸E， BF⊥y軸F，由S平行四邊形ABDC=20可得S△ABD= S四邊形AEFB+S△BFD- S△AFD=10，因此結合圖形和題意列出關于n的方程，解方程求得n的值即可得到點D的坐標；

（3）設旋轉后直線AB′與DC′交于點E，過點E作直線EF∥AB，則可得： EF∥AB∥CD，然后分∠AEC′=60°，∠AED=60°，∠B′EC′=60°三種情況結合圖1、圖2和圖3及已知條件進行分析解答即可.

（1）∵a、b滿足＋(a＋b－7)2＝0，

∴ ，解得： ；

（2）分別過點A，B作AE⊥y軸E， BF⊥y軸F，

∵S平行四邊形ABDC=20，

S△ABD= S四邊形AEFB+S△BFD- S△AFD，

又∵A(1，3)，B(4，1)，D（0，n），

∴S△ABD==10， 解得

∴點 D的坐標為（0，）；

（3）設旋轉后直線AB′與DC′交于點E，過點E作直線EF∥AB，

∵AB∥CD，

∴ EF∥AB∥CD.

①如圖1，若∠AEC′=60°，

∵EF∥AB∥CD，

∴∠AEF=∠BAB′=8t，∠FEC′=∠CDC′=2t，

∴∠AEC′=8t-2t=60°，解得t=10；

②如圖2，若∠AED=60°，

∵EF∥AB∥CD，

∴∠AEF+∠BAB′=180°，∠FED=∠CDC′=2t，

∴∠AEF=180°-8t，

∵∠AED=∠AEF+∠FED=60°，

∴180°-8t+2t=60°，解得：t=20；

③如圖3，若∠B′EC′=60°，

∵EF∥AB∥CD，

∴∠FEB′=∠BAB′=360°-8t，∠FED=∠CDC′=2t，

∵∠B′EC′=180°-∠FEB′-∠FED=60°，

∴180°-（360-8t）-2t=60°，解得：t=40；

綜上所述，當t為10秒，20秒或40秒時，直線AB與直線CD的夾角為60°.