Question

觀察下列各等式，并回答問題：

1

1×2

=1-

1

2

；

1

2×3

=

1

2

-

1

3

；

1

3×4

=

1

3

-

1

4

；

1

4×5

=

1

4

-

1

5

；…
（1）填空：

1

n(n+1)

=

 

（n是整數）；
（2）計算：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+

1

4×5

+…+

1

8×9

.
解：原式=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)+…+(

1

8

-

1

9

)=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

8

-

1

9

=1-

1

9

=

8

9

請同學們觀察上面解題過程后計算：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+

1

4×5

+…+

1

2009×2010

.

Answer 1

分析：（1）首先觀察出等式左邊的式子分母是兩個連續自然數的乘積，分子是1，等式右邊的式子兩個分數的差，分母仍然是對應的兩個自然數，分子是1，由此得出一般規律；
（2）利用（1）的規律把算式展開就可以解答．

解答：解：（1）由

1

1×2

=1-

1

2

；

1

2×3

=

1

2

-

1

3

；

1

3×4

=

1

3

-

1

4

；

1

4×5

=

1

4

-

1

5

；
…
所以

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

；

（2）

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+

1

4×5

+…+

1

2009×2010

.，
=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+

1

4

-

1

5

+…+

1

2009

-

1

2010

，
=1-

1

2010

，
=

2009

2010

．

點評：此題考查分母是連續自然數的乘積，分子是1的分數等于兩個對應自然數的倒數差：

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

．