Question

如圖①，已知拋物線y=ax²+bx+3（a≠0）與x軸交于點A（1，0）和點B （-3，0），與y軸交于點C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點D的坐標為（-2，0）．問：直線AC上是否存在點F，使得△ODF是等腰三角形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點F的坐標；若不存在，請說明理由．
（3）如圖②，若點E為第二象限拋物線上一動點，連接BE、CE，求△BCE面積的最大值，并求此時E點的坐標．

Answer 1

分析：（1）把點A、B的坐標代入拋物線解析式列出關于a、b的方程組，通過解方程組即可求得系數a、b的值；
（2）分類討論：以OD為底的等腰三角形；以DF為底的等腰三角形；
（3）過點E作EF⊥x，軸于點F，設E（ a，-2a²-2a+3）（-3＜a＜0），則四邊形BOCE的面積=三角形BEF的面積+梯形EFOC的面積，即S_{四邊形BOCE}=

1

2

BF•EF+

1

2

（OC+EF）•OF=-

3

2

（a+

3

2

）²+

63

8

，由二次函數最值的求法即可求得a的值，所以點E的坐標迎刃而解了．

解答：解：（1）由題知：

a+b+3=0 9a-3b+3=0

，
解得：

a=-1 b=-2

故所求拋物線解析式為：y=-x²-2x+3；

（2）存在符合條件的點F．
∵拋物線解析式為：y=-x²-2x+3，
∴C（0，3）．
設直線AC的解析式是y=kx+b（k≠0），
把點A、C的坐標代入，得

0=k+b 3=b

，
解得，

k=-3 b=3

，
∴直線AC的解析式是y=-3x+3．
則設F（x，-3x+3）．
①當FD=FO時，點F是線段OD垂直平分線與直線AC的交點．
∵點D的坐標為（-2，0），
∴點F的橫坐標是-1，則y=-3×（-1）+3=6，即F₁（-1，6）；
②當DO=FO時，2²=x²+（-3x+3）²．
解得，x₁=

9+ 31

10

，x₂=

9- 31

10

，
則y₁=

3-3 31

10

，y₂=

3+3 31

10

，即F₂（

9+ 31

10

，

3-3 31

10

），F₃（

9- 31

10

，

3+3 31

10

）．
綜上所述，符號條件的點F的坐標分別是：
其坐標為F₁（-1，6），F₂（

9+ 31

10

，

3-3 31

10

），F₃（

9- 31

10

，

3+3 31

10

）．

（3）如圖2，過點E作EG⊥x軸于點G，設E（ a，-a²-2a+3）（-3＜a＜0）
∴EG=-a²-2a+3，BG=-a+3，OG=-a
∴S_{四邊形BOCE}=

1

2

BG•EG+

1

2

（OC+EG）•OG
=

1

2

（-a+3）•（-a²-2a+3）+

1

2

（-a²-2a+6）•（-a）
=-

3

2

a²-

9

2

a+

9

2

=-

3

2

（a+

3

2

）²+

63

8

∴當a=-

3

2

時，S_{四邊形BOCE} 最大，且最大值為

63

8

，
而S_△BOC值一定，具體求法如下：
∵B（-3，0），C（0，3），
∴OB=3，OC=3，
∴S_△BOC=

1

2

OB•OC=

9

2

，
則△BCE面積的最大值S=S_{四邊形BOCE}-S_△BOC=

63

8

-

9

2

=

27

8

．
又∵當a=-

3

2

時，-a²-2a+3=-（-

3

2

）²-2×（-

3

2

）+3=

15

4

，
∴點E坐標為 （-

3

2

，

15

4

）．

點評：本題綜合考查了待定系數法求二次函數的解析式，二次函數最值的求法，三角形與直角梯形面積的計算以及等腰三角形的性質．解答（2）題時，在沒有確定底邊的情況下，一定要對等腰三角形的底邊進行分類討論，以防漏解．