Question

【題目】如圖，過正方形的頂點，且與相切于點分別交于兩點，連接并延長交于點．

（1）求證

（2）連接交于點，連接，若求的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】

（1）根據⊙O與BC相切于點M，可得∠BMN=90°，得四邊形ABCD是正方形，再根據垂徑定理即可證明AN=DN；

（2）解法一：接DE，EF，DG，可得DE是⊙O的直徑，且四邊形AEFD是矩形，由（1）知四邊形ABMN是矩形，設OA=r，則ON=8-r，AN=4，在Rt△AON中，根據勾股定理可得r的值，然后由∠BFE=∠EDG，得sin∠BFE=sin∠EDG，進而可得EG的長；

解法二：連接由圓周角定理可得是的直徑，且四邊形是矩形，由（1）知四邊形ABMN是矩形，設OA=r，則ON=8-r，AN=4，在Rt△AON中，根據勾股定理可得r的值，由圓內接四邊形性質求得，從而利用AA定理求得，從而利用相似三角形的性質列比例式求解即可．

解： 與邊相切與點,

四邊形是正方形，

由垂徑定理得

解法一：連接

,

是的直徑，且四邊形是矩形.

由知四邊形是矩形，

設，在中

由勾股定理得，解得

，

，

即

解法二：連接

是的直徑，且四邊形是矩形，

由知四邊形是矩形，

設，在中，

由勾股定理得，解得

即

．