Question

如圖①，分別以Rt△ABC三邊為直徑向外作三個半圓，其面積分別用S₁，S₂，S₃表示，則不難證明S₁=S₂+S₃．
（1）如圖②，分別以Rt△ABC三邊為邊向外作三個正方形，其面積分別用S₁，S₂，S₃表示，寫出它們的關系；（不必證明）
（2）如圖③，分別以Rt△ABC三邊為邊向外作正三角形，其面積分別用S₁，S₂，S₃表示，確定它們的關系并證明；
（3）若分別以Rt△ABC三邊為邊向外作三個一般三角形，其面積分別用S₁，S₂，S₃表示，為使S₁，S₂，S₃之間仍具有與（2）相同的關系，所作三角形應滿足什么條件？

Answer 1

分析：（1）從圖一的規律可得S₁=S₂+S₃；
（2）根據勾股定理求得等邊三角形的高，再求出面積，可得S₁=S₂+S₃；
（3）根據兩相似三角形的面積比等于相似比的平方，可得

S2

S1

=

a2

c2

，

S3

S1

=

b2

c2

，∴

S2+S3

S1

=

a2+b2

c2

=1，∴S₁=S₂+S₃．

解答：解：由設Rt△ABC三邊BC，CA，AB的長分別為a，b，c，則c²=a²+b²．
（1）S₁=S₂+S₃

（2）S₁=S₂+S₃，證明如下：
顯然S₁=

3

4

c²，S₂=

3

4

a²，S₃=

3

4

b²，
∴S₂+S₃=

3

4

（a²+b²）=

3

4

c²=S₁．

（3）當所作的三個三角形相似時，S₁=S₂+S₃．
∵所作三個三角形相似．
∴

S2

S1

=

a2

c2

，

S3

S1

=

b2

c2

，
∴

S2+S3

S1

=

a2+b2

c2

=1．
∴S₁=S₂+S₃．
即凡是向△ABC外做相似多邊形，S₁=S₂+S₃．

點評：此題主要涉及的知識點：三角形、正方形、圓的面積計算以及勾股定理的應用．