Question

王老師給出了一個二次函數的若干特點，要求甲、乙、丙三名同學按照這些特點求出它的解析式并畫出它的圖象，然后根據圖象再說出一些特征．
甲同學首先求出解析式、畫完圖象并回答，他說：①拋物線的頂點為（1，-8）；②拋物線與y軸的交點在x軸的下方；   ③拋物線開口向上；
乙同學第二個求出解析式并畫出圖象，他回答：①拋物線的對稱軸為直線x=1；  ②拋物線經過四個象限；③拋物線與x軸的兩個交點間的距離為6；
丙同學最后一個完成任務，他說了他的看法：①甲、乙的各種說法都不對；②拋物線過（-1，5）和（5，5）；③拋物線不過（-1，0）．
王老師聽了他們的意見，作出了評價，他說：“與正確的函數的圖象比較，你們三個人中，有一個人三句話都回答正確了，還有一個同學有兩句話是對的，另外一個同學很遺憾，回答得都不對”
請你根據王老師的評價，分析一下，哪一位同學的說法都是正確的，并根據正確的說法，求出這條拋物線的解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）老師說，三個同學中，只有一個同學的三句話都是錯的，所以丙的第一句話和老師的話相矛盾，因此丙的第一句話是錯的，同時也說明甲、乙兩人中有一個人是全對的；
（2）如果丙的第二句話是正確的，那么根據拋物線的對稱性可知，此拋物線的對稱軸是直線x=2，這樣甲的第一句和乙的第一句就都錯了，這樣又和（1）中的判斷相矛盾，所以乙的第二句話也是錯的；根據老師的意見，丙的第三句也就是錯的．也就是說，這條拋物線一定過點（-1，0）；
（3）由甲乙的第一句話可以斷定，拋物線的對稱軸是直線x=1，拋物線經過（-1，0），那么拋物線與x軸的兩個交點間的距離為4，所以乙的第三句話是錯的；
由上面的判斷可知，此拋物線的頂點為（1，-8），且經過點（-1，0），從而可求出拋物線的解析式．
解答：解：（1）老師說，三個同學中，只有一個同學的三句話都是錯的，所以丙的第一句話和老師的話相矛盾，
因此丙的第一句話是錯的，同時也說明甲、乙兩人中有一個人是全對的；

（2）如果丙的第二句話是正確的，那么根據拋物線的對稱性可知，此拋物線的對稱軸是直線x=2，
這樣甲的第一句和乙的第一句就都錯了，這樣又和（1）中的判斷相矛盾，
所以乙的第二句話也是錯的；根據老師的意見，丙的第三句也就是錯的．
也就是說，這條拋物線一定過點（-1，0）；

（3）由甲乙的第一句話可以斷定，拋物線的對稱軸是直線x=1，拋物線經過（-1，0），
那么拋物線與x軸的兩個交點間的距離為4，所以乙的第三句話是錯的；
由上面的判斷可知，此拋物線的頂點為（1，-8），且經過點（-1，0），
設拋物線的解析式為：y=a（x-1）²-8，
∵拋物線過點（-1，0），
∴0=a（-1-1）²-8，
解得：a=2，
∴拋物線的解析式為y=2（x-1）²-8，
即：y=2x²-4x-6．
點評：本題考查了待定系數法求函數解析式及函數圖象與性質，難度較大，關鍵是掌握二次函數的性質及用待定系數法求函數解析式．