Question

【題目】如圖．在△ABC中，BA=BC，以AB為直徑的⊙O分別交AC，BC于點D、E，BC的延長線與⊙O的切線AF交于點F．

（1）求證：∠ABC=2∠CAF；

（2）已知AC=2，EB=4CE，求⊙O的直徑．

Answer 1

【答案】（1）答案見解析；（2）10．

【解析】試題分析：（1）首先連接BD，由AB為直徑，可得∠ADB=90°，又由AF是⊙O的切線，易證得∠CAF=∠ABD．然后由BA=BC，證得：∠ABC=2∠CAF；

（2）首先連接AE，設CE=x，由勾股定理可得方程：（2）2=x2+（3x）2求得答案．

試題解析：（1）證明：如圖，連接BD．

∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB=90°，∴∠DAB+∠ABD=90°．

∵AF是⊙O的切線，∴∠FAB=90°，即∠DAB+∠CAF=90°，∴∠CAF=∠ABD．

∵BA=BC，∠ADB=90°，∴∠ABC=2∠ABD，∴∠ABC=2∠CAF．

（2）如圖，連接AE，∴∠AEB=90°，設CE=x．∵CE：EB=1：4，∴EB=4x，BA=BC=5x，AE=3x．在Rt△ACE中，AC2=CE2+AE2，即（2）2=x2+（3x）2，∴x=2，∴BA=10．