Question

如圖，在一個橫截面為Rt△ABC的物體中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，BC=1米．工人師傅先將AB邊放在地面（直線l）上．
（1）請直接寫出AB，AC的長；
（2）工人師傅要把此物體搬到墻邊（如圖），先按順時針方向繞點B翻轉到△A₁BC₁位置（BC₁在l上），最后沿BC₁的方向平移到△A₂B₂C₂的位置，其平移的距離為線段AC的長度（此時A₂C₂恰好靠在墻邊）．畫出在搬動此物的整個過程A點所經過的路徑，并求出該路徑的長度．
（3）若沒有墻，像（2）那樣翻轉，將△ABC按順時針方向繞點B翻轉到△A₁BC₁位置為第一次翻轉，又將△A₁BC₁按順時針方向繞點C₁翻轉到△A₂B₂C₁（A₁C₁在l上）為第二次翻轉，求兩次翻轉此物的整個過程點A經過路徑的長度．

Answer 1

分析：（1）根據直角三角形的三邊關系，30°的角所對的直角邊是斜邊的一半，可以直接確定AB、AC．
（2）根據要求畫出路徑，再用弧長公式求解路徑的長度．
（3）根據題意得到Rt△ABC在直線l上轉動兩次點A分別繞點B旋轉120°和繞C旋轉90°，將兩條弧長求出來加在一起即可．

解答：解：（1）∵∠CAB=30°，BC=1米
∴AB=2米，AC=

3

米．

（2）畫出A點經過的路徑：
∵∠ABA₁=180°-60°=120°，A₁A₂=AC=

3

米
∴A點所經過的路徑長=

120

180

•π•2+

3

=

4

3

π+

3

≈5.9（米）．

（3）在Rt△ABC中，∵BC=1，AC=

3

∴AB=2，∠CBA=60°，
∴弧AA₁=

120

180

π×2=

4

3

π，
弧A₁A₂=

90

180

π×

3

=

3

2

π，
∴點A經過的路線的長是

4

3

π+

3

2

π．
故兩次翻轉此物的整個過程點A經過路徑的長度為是

4

3

π+

3

2

π．

點評：考查了弧長的計算，旋轉的性質，解直角三角形，本題是動點問題，關鍵是要確定動點規律或特性，然后解答．