Question

如圖1是一個供滑板愛好者滑行使用的U型池，圖2是該U型池的橫截面（實線部分）示意圖，其中四邊形AMND是矩形，弧AmD是半圓．
（1）若半圓AmD的半徑是4米，U型池邊緣AB=CD=20米，點E在CD上，CE=4米，一滑板愛好者從點A滑到點E，求他滑行的最短距離（結果可保留根號）；
（2）若U型池的橫截面的周長為32米，設AD為2x，U型池的強度為y，已知U型池的強度是橫截面的面積的2倍，當x取何值時，U型池的強度最大？

Answer 1

分析：（1）將U型池滑道的平面展開圖為長方形，根據弧長的公式和勾股定理可以求出滑行的最短距離．
（2）根據等量關系“U型池的強度是橫截面的面積的2倍”，列出函數關系式，求出U型池的強度最大時的x值．

解答：解：（1）如圖是滑道的平面展開圖
在Rt△EDA中，半圓AmD的弧長=4π，ED=20-4=16（2分）
滑行的最短距離AE=

162+(4π)2

=4

16+π2

（3分）

（2）∵AD為2x∴半圓AmD的半徑為x，則半圓AmD的弧長為πx
∴32=2x+2AM+πx
∴AM=-

2+π

2

x+16（0＜x＜

32

4+π

）（4分）
∴y=2[2x（5分）
∴當x=-

64

2[-(3π+4)]

=

32

3π+4

時，U型池強度最大
所以當x=

32

3π+4

時，U型池強度最大（6分）
注：AM=-

2+π

2

x+16（0＜x＜

32

4+π

）中無自變量范圍不扣分．

點評：求滑行的最短距離，把曲面的問題轉化為平面的問題是解題的關鍵．同時考查了二次函數的最值問題．