Question

如圖①，在平行四邊形ABCD中，AD=9cm，動點P從A點出發，以1cm/s的速度沿著A→B→C→A的方向移動，直到點P到達點A后才停止．已知△PAD的面積y（單位：cm²）與點P移動的時間x（單位：s）之間的函數關系如圖②所示，試解答下列問題：

（1）求出平行四邊形ABCD的周長；
（2）請你利用圖①解釋一下圖②中線段MN表示的實際意義；
（3）求出圖②中a和b的值．

Answer 1

解：（1）由圖②可知點P從A點運動到B點的時間為10s，
又因為P點運動的速度為1cm/s，
所以AB=10×1=10（cm），
而AD=9cm，
則平行四邊形ABCD的周長為：2（AB+AD）=2（10+9）=38（cm）；

（2）線段MN表示的實際意義是：點P在BC邊上從B點運動到C點；

（3）由AD=9可知點P在邊BC上的運動時間為9s，
所以a=10+9=19；
分別過B點、C兩點作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F．
由圖②知S_△ABD=36，
則×9×BE=36，
解得BE=8，
在直角△ABE中，由勾股定理，得AE==6．
易證△BAE≌△CDF，
則BE=CF=8，AE=DF=6，AF=AD+DF=9+6=15．
在直角△ACF中，由勾股定理，得CA==17，
則點P在CA邊上從C點運動到A點的時間為17s，
所以b=19+17=36．
分析：（1）由圖②知點P在AB上運動的時間為10s，根據列出=速度×時間，求出AB=10cm，又AD=9cm，根據平行四邊形的周長公式即可求解；
（2）由線段MN∥x軸，可知此時點P雖然在運動，但是△PAD的面積y不變，結合圖①，可知此時點P在BC邊上運動；
（3）由AD=9可知點P在邊BC上的運動時間為9s，a為點P由A→B→C的時間；分別過B點、C點作BE⊥AD、CF⊥AD，易證△BAE≌△CDF，由此得到AE=DF=6，AF=15，從而可求得CA=17s，則點P在CA邊上從C點運動到A點的時間為17，所以b=19+17=36．
點評：本題考查了動點問題的函數圖象，根據圖②的三角形的面積的變化情況求出AB的長度是解題的關鍵，在梯形的問題中，作梯形的高是一種常用的輔助線的作法．