Question

【題目】已知四邊形ABCD中，AD+DB+BC=16，則四邊形ABCD的面積的最大值是（ ）

A. 16 B. 32 C. 16 D.

Answer 1

【答案】B

【解析】先畫圖，由于S四邊形ABCD=S△ABD+S△BCD，那么當∠ADB=∠BCD=90°時，S△ABD、S△BCD有最大值，也就是四邊形ABCD有最大值，再結合AD+DB+BC=16，可求S四邊形ABCD=8BD-BD2，再利用二次函數的求最值問題，即可求四邊形ABCD的面積．

解：如圖所示，連接BD，

∵S四邊形ABCD=S△ABD+S△BCD，
S△ABD=ADBDsin∠ADB，
S△BCD=BDBCsin∠BCD，
∴當∠ADB=∠BCD=90°時，S△ABD、S△BCD有最大值，
∴S四邊形ABCD=S△ABD+S△BCD=ADBD+BDBC，
又∵AD+BC=16-BD，
∴S四邊形ABCD=BD（16-BD）=8BD-BD2，
∵a=-＜0，
∴當BD=-=8時，四邊形ABCD的面積有最大值==32．
故四邊形ABCD的最大面積是32．

“點睛”本題考查了四邊形面積的計算、二次函數的性質．已知兩邊和夾角，可利用夾角的正弦來求面積．要使三角形面積最大，則夾角應等于90°．