Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知A，B，C三點的坐標分別為(0，a)(b，0)、(b，c)，其中a，b，c滿足關系式(3a－2b)2＋＝0，|c－4|≥0．

⑴求a，b，c的值；

⑵如果在第二象限內有一點P(m－1，1)，請用含m的代數式表示△AOP的面積；

⑶在⑵的條件下，m在什么范圍取值時，△AOP的面積不大于△ABC的面積？請求出在符合條件的前提下、△AOP的面積最大時點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）∴a＝2，b＝3，c＝4； （2）S△AOP＝1－m；（3）P點的坐標為(－6，1).

【解析】（1）由非負數性質定理可得，解方程組可得a,b,c；

（2）結合點A,P,O的坐標，根據三角形面積公式可得到S△AOP＝1－m；

（3）分別用式子表示兩個三角形的面積，再利用“△AOP的面積不大于△ABC的面積”和點P在第二象限，列出不等式，可求得m的取值范圍，再根據題意確定m=-5時，△AOP的面積最大，及點P的坐標．

且c－4=0，

∴a＝2，b＝3，c＝4；

⑵S△AOP＝1－m；

⑶由⑴得，B(3，0)，C(3，4)，

∴|BC|＝4，點A到BC的距離為3，

∴S△ABC＝×3×4＝6，

∵△AOP的面積不大于△ABC的面積，S△AOP＝1－m，

∴S△AOP≤S△ABC，S△AOP＝1－m，

∴1－m≤6，解得m≥－5，①

∵點P(m－1，1)在第二象限內，

∴m－1＜0∴m＜1②

∴由①、②可知，－5≤m＜1

當－5≤m＜1時，△AOP的面積不大于△ABC的面積．

∵S△AOP＝1－m，－5≤m＜1

∴當m＝－5時，此時△AOP的面積最大，S△AOP＝1－m＝6，

∴P點的坐標為(－6，1).