Question

【題目】小明在某次作業中得到如下結果：

，

，

，

，

．

據此，小明猜想：對于任意銳角，均有．

（Ⅰ）當時，驗證是否成立；

（Ⅱ）小明的猜想是否成立?若成立，若成立，請給予證明；若不成立，請舉出一個反例．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）成立，證明見解析；（Ⅱ）成立，證明見解析.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）成立，當時，將30°與60°的正弦值代入計算即可得證；

（Ⅱ）成立，如圖，△ABC中，∠C=90°，設∠A=α，則∠B=90°-α，正確地表示這兩個角的正弦并利用勾股定理即可得證.

試題解析：（Ⅰ）當時， =sin230°+sin 260°= = =1，所以成立；

（Ⅱ）小明的猜想成立.證明如下：

如圖，△ABC中，∠C=90°，設∠A=α，則∠B=90°-α，

sin2α+sin 2（90°-α）= =1