Question

如圖，在⊙M中，

AB

所對的圓心角為120°，已知圓的半徑為2cm，并建立如圖所示的直角坐標系．
（1）求圓心M的坐標；
（2）求經過A，B，C三點的拋物線的解析式；
（3）點D是弦AB所對的優弧上一動點，求四邊形ACBD的最大面積；
（4）在（2）中的拋物線上是否存在一點P，使△PAB和△ABC相似？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）連接AM，在直角△AMO中，根據三角函數就可以求出OM，就可以得到M的坐標．
（2）根據三角函數就可以求出A，B的坐標，拋物線經過點A、B、C，因而M一定是拋物線的頂點．根據待定系數法就可以求出拋物線的解析式．
（3）四邊形ACBD的面積等于△ABC的面積+△ABP的面積，△ABC的面積一定，△ABP中底邊AB一定，P到AB的距離最大是三角形的面積最大，即當P是圓與y軸的交點時面積最大．
（4）△PAB和△ABC相似，根據相似三角形的對應邊的比相等，就可以求出P點的坐標．

解答：解：（1）如圖（1），
連接MA、MB，
則∠AMB=120°，
∴∠CMB=60°，∠OBM=30度．（2分）
∴OM=

1

2

MB=1，
∴M（0，1）．（3分）

（2）由A，B，C三點的特殊性與對稱性，知經過A，B，C三點的拋物線的解析式為y=ax²+c．（4分）
∵OC=MC-MO=1，OB=

MB2-OM2

=

3

，
∴C（0，-1），B（

3

，0）．（5分）
∴c=-1，a=

1

3

．
∴y=

1

3

x²-1．（6分）

（3）∵S_{四邊形ACBD}=S_△ABC+S_△ABD，又S_△ABC與AB均為定值，（7分）
∴當△ABD邊AB上的高最大時，S_△ABD最大，此時點D為⊙M與y軸的交點，如圖（1）．（8分）
∴S_{四邊形ACBD}=S_△ABC+S_△ABD=

1

2

AB•OC+

1

2

AB•OD
=

1

2

AB•CD
=4

3

cm²．（9分）

（4）方法1：
如圖（2），
∵△ABC為等腰三角形，∠ABC=30°，

AB

BC

=

3

，
∴△ABC∽△PAB等價于∠PAB=30°，PB=AB=2

3

，PA=

3

PB=6．（10分）
設P（x，y）且x＞0，則x=PA•cos30°-AO=3

3

-

3

=2

3

，y=PA•sin30°=3．（11分）
又∵P（2

3

，3）的坐標滿足y=

1

3

x²-1，
∴在拋物線y=

1

3

x²-1上，存在點P（2

3

，3），
使△ABC∽△PAB．
由拋物線的對稱性，知點（-2

3

，3）也符合題意．
∴存在點P，它的坐標為（2

3

，3）或（-2

3

，3）．（12分）
說明：只要求出（2

3

，3），（-2

3

，3），無最后一步不扣分．下面的方法相同．
方法2：
如圖（3），
當△ABC∽△PAB時，∠PAB=∠BAC=30°，又由（1）知∠MAB=30°，
∴點P在直線AM上．
設直線AM的解析式為y=kx+b，
將A（-

3

，0），M（0，1）代入，
解得

k= 3 3 b=1

，
∴直線AM的解析式為y=

3

3

x+1．（10分）
解方程組

y= 3 3 x+1 y= 1 3 x2-1

，
得P（2

3

，3）．（11分）
又∵tan∠PBx=

3

2 3 - 3

=

3

，
∴∠PBx=60度．
∴∠P=30°，
∴△ABC∽△PAB．
∴在拋物線y=

1

3

x²-1上，存在點（2

3

，3），使△ABC∽△PAB．
由拋物線的對稱性，知點（-2

3

，3）也符合題意．
∴存在點P，它的坐標為（2

3

，3）或（-2

3

，3）．（12分）
方法3：
如圖（3），
∵△ABC為等腰三角形，且

AB

BC

=

3

，
設P（x，y），則△ABC∽△PAB等價于PB=AB=2

3

，PA=

3

AB=6．（10分）
當x＞0時，得

(x- 3 )2+y2 =2 3 (x+ 3 )2+y2 =6

，
解得P（2

3

，3）．（11分）
又∵P（2

3

，3）的坐標滿足y=

1

3

x²-1，
∴在拋物線y=

1

3

x²-1上，存在點P（2

3

，3），使△ABC∽△PAB．
由拋物線的對稱性，知點（-2

3

，3）也符合題意．
∴存在點P，它的坐標為（2

3

，3）或（-2

3

，3）．（12分）

點評：本題主要考查了待定系數法求函數的解析式．并且本題考查了相似三角形的對應邊的比相等．