Question

【題目】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D為BC中點，CE⊥AD于E，BF∥AC交CE的延長線于F．

（1）求證：△ACD≌△CBF；

（2）求證：AB垂直平分DF．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

試題分析：（1）根據∠ACB=90°，求證∠CAD=∠BCF，再利用BF∥AC，求證∠ACB=∠CBF=90°，然后利用ASA即可證明△ACD≌△CBF．

（2）先根據ASA判定△ACD≌△CBF得到BF=BD，再根據角度之間的數量關系求出∠ABC=∠ABF，即BA是∠FBD的平分線，從而利用等腰三角形三線合一的性質求證即可．

解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，

∴∠CAB=∠CBA=45°，

∵CE⊥AD，

∴∠CAD=∠BCF，

∵BF∥AC，

∴∠FBA=∠CAB=45°

∴∠ACB=∠CBF=90°，

在△ACD與△CBF中，

∵，

∴△ACD≌△CBF；

（2）證明：∵∠BCE+∠ACE=90°，∠ACE+∠CAE=90°，

∴∠BCE=∠CAE．

∵AC⊥BC，BF∥AC．

∴BF⊥BC．

∴∠ACD=∠CBF=90°，

在△ACD與△CBF中，

∵，

∴△ACD≌△CBF，

∴CD=BF．

∵CD=BD=BC，

∴BF=BD．

∴△BFD為等腰直角三角形．

∵∠ACB=90°，CA=CB，

∴∠ABC=45°．

∵∠FBD=90°，

∴∠ABF=45°．

∴∠ABC=∠ABF，即BA是∠FBD的平分線．

∴BA是FD邊上的高線，BA又是邊FD的中線，

即AB垂直平分DF．