Question

如圖，已知二次函數y=0.5x²+mx+n的圖象過點A（-3，6），并與x軸交于點B（-1，0）和點C，頂點為P．
（1）求這個拋物線的解析式；
（2）求線段PC的長；
（3）設D為線段OC上的一點，且∠DPC=∠BAC，求點D的坐標．

Answer 1

分析：（1）利用拋物線y=

1

2

x2+mx+n過點-A（-3，6），B（-1，0），解得，m=-1，n=-1.5，從而得到所求的拋物線解析式為y=

1

2

x2-x-

3

2

；
（2）將上題求得的解析式變形為y=

1

2

(x-1)2-2，求得頂點點P坐標為（1，-2）然后求得拋物線與x軸的交點C坐標為（3，0），過P作PM⊥x軸于M．根據P（1，-2）得到PM=2，OM=1，MC=OC-OM=2然后利用勾股定理求得PC的長即可；
（3）根據PM=MC得到∠MPC=∠MCP=45°，過點A作AN⊥x軸于N，利用A（-3，6）得到AN=6，ON=3，進一步得到CN=OC+ON=6，利用勾股定理求得AC的長，然后利用△CDP∽△CBA得到比例式

CD

CB

=

PC

AC

，將CD=3-a，PC=2

2

，BC=4，代入求得a的值后即可求得點D坐標．

解答：解：（1）∵拋物線y=

1

2

x2+mx+n過點-A（-3，6），B（-1，0），
∴

9 2 -3m+n=6 1 2 -m+n=0

解得，m=-1，n=-1.5，
∴所求的拋物線解析式為y=

1

2

x2-x-

3

2

…（3分）

（2）∵y=

1

2

(x-1)2-2
∴點P坐標為（1，-2）當y=0時，

1

2

x2-x-

3

2

=0
∴x₁=3，x₂=-1
∴點C坐標為（3，0），
過P作PM⊥x軸于M．
∵P（1，-2）
∴PM=2，OM=1
∴MC=OC-OM=2
∴PC=

PM2+MC

=

4+4

=2

2

…（8分）

（3）∵PM=MC
∴∠MPC=∠MCP=45°，
過點A作AN⊥x軸于N，
∵A（-3，6）
∴AN=6，ON=3，
∴CN=OC+ON=6，
∴AC=

AN2+CN2

=

36+36

=6

2

∵AN=CN∴∠NAC=∠NCA=45°
∴∠MCP=∠NCA=45°
∵∠DPC=∠BAC
∴△CDP∽△CBA．
∴

CD

CB

=

PC

AC

設點D坐標為（a，0）
∴CD=3-a，PC=2

2

，BC=4，AC=6

2

∴

3-a

4

=

2 2

6 2

，a=

5

3

∴點D坐標為（

5

3

，0）…（13分）

點評：本題考查了二次函數的綜合知識，解題過程中用到了將點的坐標與線段的長的轉化，是解決此類題目中比較關鍵的地方．