Question

(10分)

問題提出

我們在分析解決某些數學問題時，經常要比較兩個數或代數式的大小，而解決問題的策略一般要進行一定的轉化，其中“作差法”就是常用的方法之一．所謂“作差法”：就是通過作差、變形，并利用差的符號確定他們的大小，即要比較代數式M、N的大小，只要作出它們的差M－N，若M－N＞0，則M＞N；若M－N＝0，則M＝N；若M－N＜0，則M＜N．

問題解決

如圖1，把邊長為a＋b(a≠b)的大正方形分割成兩個邊長分別是a、b的小正方形及兩個矩形，試比較兩個小正方形面積之和M與兩個矩形面積之和N的大小．

解：由圖可知：M＝a²＋b²，N＝2ab．

∴M－N＝a²＋b²－2ab＝(a－b)²．

∵a≠b，∴(a－b)²＞0．

∴M－N＞0．

∴M＞N．

類別應用

(1)已知小麗和小穎購買同一種商品的平均價格分別為元/千克和元/千克(a、b是正數，且a≠b)，試比較小麗和小穎所購買商品的平均價格的高低．

 (2)試比較圖2和圖3中兩個矩形周長M₁、N₁的大小(b＞c)．

 

 

 

 

 

 

 

聯系拓廣

小剛在超市里買了一些物品，用一個長方體的箱子“打包”，這個箱子的尺寸如圖4所示(其中b＞a＞c＞0)，售貨員分別可按圖5、圖6、圖7三種方法進行捆綁，吻哪種方法用繩最短？哪種方法用繩最長？請說明理由．

Answer 1

【答案】

解：類比應用

（1）

∵是正整數且

∴， ∴

即效力的平均價格比小穎的高。

（2）由圖知，

∵，∴，即，∴。

∴第一個矩形的周長大于第二個矩形的周長。

聯系拓廣

設圖⑤的捆綁繩長為，則

設圖⑥的捆綁繩長為，則

設圖⑦的捆綁繩長為，則

∴

∴（由式子觀察得出，也可得分。）

∵，∴，即，∴

∴所以第三種捆綁方法用繩最長，第二種最短。

【解析】略