Question

（2013•海珠區一模）如圖，直線y=kx-k+2與拋物線y=

1

4

x2-

1

2

x+

5

4

交于A、B兩點，拋物線的對稱軸與x軸交于點Q．
（1）證明直線y=kx-k+2過定點P，并求出P的坐標；
（2）當k=0時，證明△AQB是等腰直角三角形；
（3）對于任意的實數k，是否都存在一條固定的直線與以AB為直徑的圓相切？若存在，請求出此直線的解析式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）整理成關于k的形式，然后根據k的系數等于0列式求出x的值，再求出y的值，即可得到定點P的坐標；
（2）先寫成直線的解析式，再與拋物線解析式聯立求出點A、B的坐標，根據拋物線的解析式求出點Q的坐標，然后利用兩點間的距離公式求出AB、AQ、BQ，再根據勾股定理逆定理證明；
（3）設點A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），聯立直線與拋物線解析式消掉未知數y，得到關于x的一元二次方程，利用根與系數的關系求出AB的長，再求出AB的中點坐標，然后根據AB的長等于AB的中點到x軸的距離的2倍可得以AB為直徑的圓與x軸相切．

解答：（1）證明：∵y=kx-k+2=k（x-1）+2，
∴當x-1=0，即x=1時，y=2，
故，直線y=kx-k+2過定點P（1，2）；

（2）證明：當k=0時，直線y=kx-k+2=2，
交點A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）的坐標符合方程組：

y=2 y= 1 4 x2- 1 2 x+ 5 4

，
解得：

x1=-1 y1=2

，

x2=3 y2=2

，
即A（-1，2），B（3，2），
拋物線y=

1

4

x²-

1

2

x+

5

4

=

1

4

（x-1）²+1，
∵拋物線的對稱軸與x軸交于點Q，
∴Q（1，0），
∴AB=

(-1-3)2+(2-2)2

=4，
AQ=

(-1-1)2+(2-0)2

=2

2

，
BQ=

(3-1)2+(2-0)2

=2

2

，
∴AB²=AQ²+BQ²，AQ=BQ，
所以，△AQB是等腰直角三角形；

（3）解：存在定直線與以AB為直徑的圓相切，此直線即x軸，解析式是y=0．
理由如下：交點A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）的坐標符合方程組：

y=kx-k+2 y= 1 4 x2- 1 2 x+ 5 4

，
消掉y得，

1

4

x²-（

1

2

+k）x+k-

3

4

=0，
∵x₁+x₂=2+4k，x₁x₂=4k-3，
∴（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=（2+4k）²-4（4k-3）=16k²+16，
（y₁-y₂）²=k²（x₁-x₂）²=k²（16k²+16），
∴AB=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

(16k2+16)+k2(16k2+16)

=4k²+4，
∴以AB為直徑的圓的半徑為2k²+2，
∵AB的中點是（

x1+x2

2

，

y1+y2

2

），

x1+x2

2

=

2+4k

2

=2k+1，

y1+y2

2

=

k(x1+x2)

2

-k+2=k（2k+1）-k+2=2k²+2，
∴AB的中點，即以AB為直徑的圓的圓心坐標為（2k+1，2k²+2），
∵圓心到x軸的距離剛好等于半徑，
∴存在定直線與以AB為直徑的圓相切，此直線即x軸，解析式是y=0．

點評：本題是二次函數綜合題型，主要考查了直線過定點的求解方法，聯立兩函數解析式求交點的方法兩點間的距離公式，勾股定理逆定理的應用，根與系數的關系，直線與圓的位置關系，綜合性較強，難度較大，要特別注意兩點間的距離公式的應用．