Question

如圖，點M（4，0），以點M為圓心、2為半徑的圓與x軸交于點A、B，已知拋物線y=

1

6

x2+bx+c過點A和B，與y軸交于點C．
（1）求點C的坐標，并畫出拋物線的大致圖象；
（2）求出拋物線的頂點D的坐標，并確定與圓M的位置關系；
（3）點Q（8，m）在拋物線y=

1

6

x2+bx+c上，點P為此拋物線對稱軸上一個動點，求PQ+PB的最小值．

Answer 1

分析：（1）根據⊙M圓心的坐標和半徑的長，可表示出A、B兩點的坐標，代入拋物線的解析式中，即可求得待定系數的值，從而確定該拋物線的解析式，也就能得到點C的坐標．
（2）將拋物線的解析式化為頂點坐標式，即可求得點D的坐標；由于拋物線和圓都是軸對稱圖形，那么點D、M都在拋物線的對稱軸上，可根據圓的半徑來判定點D和圓M的位置關系．
（3）根據拋物線的解析式，即可確定點Q的坐標；由于A、B關于拋物線對稱軸對稱，那么連接QA，直線QA與拋物線對稱軸的交點即為所求的點P，此時PQ+PB的最小值為QA的長，根據Q、A的坐標即可求得QA的長，由此得解．

解答：解：（1）由已知，得A（2，0），B（6，0），
∵拋物線y=

1

6

x2+bx+c過點A和B，則：

1 6 ×22+2b+c=0 1 6 ×62+6b+c=0

，
解得

b=- 4 3 c=2

；
則拋物線的解析式為y=

1

6

x2-

4

3

x+2．
故C（0，2）．（3分）
（說明：拋物線的大致圖象要過點A、B、C，其開口方向、頂點和對稱軸相對準確）（4分）

（2）由（1）得：y=

1

6

x2-

4

3

x+2=

1

6

（x-4）²-

2

3

；
故D（4，-

2

3

），D點在圓內．（7分）

（3）如圖，拋物線對稱軸l是x=4；
∵Q（8，m）拋物線上，
∴m=2；
過點Q作QK⊥x軸于點K，則K（8，0），QK=2，AK=6，
∴AQ=

AK2+QK2

=2

10

；（10分）
又∵B（6，0）與A（2，0）關于對稱軸l對稱，
∴PQ+PB的最小值=AQ=2

10

．（12分）

點評：此題主要考查了二次函數解析式的確定、頂點坐標的求法以及平面展開-最短路徑等相關知識，難度適中．